数论

数论初期的铺垫工作数论早期铺垫有三大内容：欧几里得证明素数无穷多个。寻找素数的埃拉托斯特尼筛法；欧几里得求最大公约数的辗转相除法。公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。以上工作成为现代数论的基本框架。数论中期工作在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。早期的现代数论费马费马皮埃尔·德·费马（1601–1665）没有著作出版，他在数论上的贡献几乎都在他写给其他数学家的信上，以...

解析数论的分支解析数论主要分为两种，区分方式主要是因为待求解问题种类的不同，而比较不是因为使用技巧上的基本差异。乘性数论（英语：Multiplicativenumbertheory）处理的是质数的分布，例如估计一个区间内的质数个数，包括质数定理及狄利克雷定理。堆叠数论（英语：additivenumbertheory）是有关整数的堆叠结构，像是哥德巴赫猜想认为所有大于2的偶数都可以表示为二个质数的和。另一个堆叠数论的主要成果是华林问题的和。历史微积分和复变函数论发展以后，产生了解析数论。该学科的第一个主要成就是狄利克雷用解析方法证明了狄利克雷定理。依靠黎曼ζ函数对素数定理的证明是另一个里程碑。解析数论是解决数论中艰深问题的重要工具，数论中有些问题必须由解析方法才能提出或解决。中国的华罗庚开启了中国解析数论学派，王元、陈景润、潘承洞等人在“哥德巴赫猜想”上也有相当进展，陆续证明了“3＋4”、“...

理论根据传统说法，数论的创始人是迦毗罗仙人（因此又被称为“迦毗罗论”）。但是，没有任何可靠的证据能证明这一点。数论的核心思想是，宇宙由两大本原组成：补卢沙（最高精神）和原质（原初物质）。补卢沙，或称为神我，也就是梨俱吠陀中著名的《原人歌》里的原人。原人歌中说原人是宇宙的本原，但众天神（提婆）却用他作了祭祀的牺牲，于是从他的躯体产生世间万物（尤其是四个种姓）。这实际上是反映了祭祀万能的思想。原质，按数论的观点，由所谓“三德”组成。三德分别是萨埵（喜），罗阇（忧）和答磨（暗）。根据《瑜伽胜论》，三德具有互相矛盾（或制约）的属性。“萨埵”倾向于探究事物的本原，“罗阇”倾向于动性的傲慢、贪婪和嗔怒，“答磨”倾向于惰性和不敏感。一切事物都是原质在三德的作用下产生的。数论哲学又进一步把事物归类为“二十五谛”。二十五谛分别为：原质（或称为非显）、觉（菩提）、我慢、眼、耳、鼻、舌、皮肤（以上五种合称为五知...

唯一因子分解和理想类群代数数域K的整数环OK的元素的素分解和整数环Z的素数分解有不同之处，不是每个OK的元素都唯一分解。虽然OK元素的唯一分解束在某些情况下可能成立，如高斯整环，但在其它情况下可能会失败，如二次域Z[√-5]中，6就不是唯一分解|:6=2⋅⋅-->3=(1+−−-->5)⋅⋅-->(1−−-->−−-->5).{\displaystyle6=2\cdot3=(1+{\sqrt{-5}})\cdot(1-{\sqrt{-5}}).}OK的理想类群是一个整数环OK的元素是否唯一因子分解的度量，特别是当整数环OK理想类群是平凡群时，当且仅当O为唯一分解整环。0的唯一因子分解和OK素理想间关系。OK元素的唯一分解可能成立：这时OK的理想的唯一分解成素理想（即它是一个戴德金整环）。这使得在研究OK的素理想尤其重要。从另方面，从整数环Z更改为代数数域K的整数环OK后，整数环Z中素数就能...

初等数论的主题素数素数判定法则因数素数公式埃拉托斯特尼筛法有趣的数连分数幻方原根同余倒数的性质数论函数经典的定理