唯一因子分解和理想类群

代数数域K的整数环OK的元素的素分解和整数环Z的素数分解有不同之处，不是每个OK的元素都唯一分解。虽然OK元素的唯一分解束在某些情况下可能成立，如高斯整环，但在其它情况下可能会失败， 如二次域Z [√-5]中，6就不是唯一分解|:6=2⋅ ⋅ -->3=(1+− − -->5)⋅ ⋅ -->(1− − -->− − -->5).{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}}).}

OK的理想类群是一个整数环OK的元素是否唯一因子分解的度量，特别是当整数环OK理想类群是平凡群时，当且仅当O为唯一分解整环。0的唯一因子分解和OK素理想间关系。

OK元素的唯一分解可能成立：这时OK的理想的唯一分解成素理想（即它是一个戴德金整环）。这使得在研究OK的素理想尤其重要。从另方面，从整数环Z更改为代数数域K的整数环OK后，整数环Z中素数就能生成Z素理想（其实，Z的每一个素理想（p）的形式是：pZ）可同一素数在O中可能不再生成素理想，例如，在高斯整环中，理想2Z[i]不再是素理想：

但理想3Z[i]是一个素理想。高斯整环唯一因子分解完整的答案使用费尔马大定理，其结果为：

得出这种简单的结果对更一般的整数环来说是代数数论的基本问题。当代数数域K是有理数Q的阿贝尔扩张时（即有交换伽罗瓦群的扩张）类域论实现了这一目标。

素元和素点

（根据类域论，因K为有理域Q时OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理数域不同，实域R和实数域不同）

在OK素理想的概念的一个重要的推广是理想论，也叫赋值论，这两种方法之间的关系如下：

运算为通常的绝对值函数|·|，映射有理域Q→实域R的，令绝对值函数|·|p: 定义称为p-adic绝对赋值，p∈Z中的素数。由奥斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic绝对赋值对Q是等价类,p-adic绝对赋值可看成类似通常素数。更普遍的，代数数域K的绝对赋值称为一个素点。K中素元分两类：像p-adic绝对赋值|·|p这种等价类是有限的，被称为有限素元（有限素点）。而通过复域C的模|·|方式定义的素元可看成复域C一个无限子集，被称为无限素元（或无限素点）。因此，一般表示Q的素元集合为{2，3，5，7，...，∞}，在这种情况下|·|∞是有理域Q的素元（素点）。

K的无限素元可有嵌入同态K→C（即非零的环同态，从K到C）。具体来说，可把嵌入分成两个不相交的子集，那些像在R中算一个子集S1，其余的为另一子集S2。S1的每个嵌入σ：K→R，对应唯一一个和通常绝对值一样的绝对赋值;这种方式产生的一个素元的被称为一个实素元（或实素点）。S2的一个嵌入τ：是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一个唯一的嵌入τ，称为共轭嵌入，组成的复共轭映射为τ的C→C.而此绝对赋值为复数的模：|z| = |z| 。这样的素元叫一个复素元（或复素点）。这样无限素元的集合的描述如下：每个无限素元对应到一个唯一的嵌入σ：K→R，或一对共轭嵌入τ，τ：K→C.实素点素数表示为r1 ，复素点表示为r2，嵌入ķ→C的总数为r1+2r2，（事实上，等于K/ Q的扩张次数：[K：Q]）。

单位

算术基本定理说明Z环的乘法结构为：每一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘。这对OK的理想的唯一分解对一部分理想正确，不能全正确是因为±1，因为整数1和-1是Z环的可逆元素（即单位，两者组成一个乘法群叫单位群，记为Z，是个2阶循环群）。更普遍的是，在OK的形式下全部素元乘法可逆组成一个乘法群，记为O，群素元称为OK的单位，这个群比2阶循环群Z×阶大。由狄利克雷单位定理可得：单位群是交换群。更确切的有伽罗瓦模形式：

有限循环群即为K的单位群O。OK单元群的阶大小，OK的格结构，在类数公式可以看出。

局部域

在素点w对数域K完备化给出了一个完全域。如果赋值是阿基米德赋值，得到R或C，都是完全域。如果非阿基米德赋值，则是有理素元的离散赋值，得到有限扩张Kw / Qp: ：这离散赋值域也是一个完全域，且是有限剩余域。

局部方法简化了域的算术，能局部研究问题。例如克罗内克韦伯定理，可以轻松地从局部状态进行。局部域的研究背后的哲学，主要是出于几何方法。在代数几何，可通过对极大理想的点集局部化的变量研究入手。而全局信息，可通过局部化综合在一起得出。在代数数论，局部研究问题是主要方法之一，通过在数域代数中对整数环的素元入手，再对分式域研究得出全局信息。

主要结果

理想类群阶的有限性问题。代数数论一个经典结论是：代数数域的理想类群阶有限。理想类群阶大小叫类数，常记为h。

狄利克雷单位定理

狄利克雷的单位定理提供了OK 单位乘群O× 的结构描述，它指出:OK≃ ≃ -->{\displaystyle \simeq }Z⊕(finite circle group）其中有限循环群是O×的所有单位根组成，且r = r1 + r2 − 1，或者说，OK是阶为r = r1 + r2 − 1阿贝尔群贝尔群，且其扭元素由O×的所有单位根组成

阿廷互反律

互反律

二次互反律

三次互反律

四次互反律

类数公式

参考文献

Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990

Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat"s Last Theorem," A. K. Peters, 2002

Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht (编), Algebraic number theory, London: Academic Press, 1967, MR 0215665 

Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin J., Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 27, Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-43834-9, MR 1215934 

Lang, Serge, Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics 110 2, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723 

Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory (1999), Springer. ISBN 3-5406-5399-6

Jean-Pierre Serre, Cours d"arithmétique (1988), PUF. ISBN 2-13-041838-X

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