数论初期的铺垫工作

数论早期铺垫有三大内容：

欧几里得证明素数无穷多个。

寻找素数的埃拉托斯特尼筛法；欧几里得求最大公约数的辗转相除法。

公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。

以上工作成为现代数论的基本框架。

数论中期工作

在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。

数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。

早期的现代数论

费马

  费马

皮埃尔·德·费马（1601–1665）没有著作出版，他在数论上的贡献几乎都在他写给其他数学家的信上，以及书旁的空白处 。费马的贡献几乎没有数论上的证明 ，不过费马重复的使用数学归纳法，并引入无穷递降法。

费马最早的兴趣是在完全数及相亲数，因此开始研究整数因数，这也开始1636年之后的数学研究，也接触到当时的数学社群 。他已在1643年研读过 巴歇 （ 英语 ： Claude Gaspard Bachet de Méziriac ） 版本的丢番图著作，他的兴趣开始转向丢番图方程和平方数的和 。

费马在数论上的贡献有：

费马小定理(1640)

，若 a 不是质数 p 的倍数，则 a p − − --> 1 ≡ ≡ --> 1 ( mod p ) . {\displaystyle \scriptstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}

若 a 和 b 互质，则 a 2 + b 2 {\displaystyle \scriptstyle a^{2}+b^{2}} 无法被任何除4后同余-1的质数整除 ，而且每个除4后同余1的质数都可以表示为 a 2 + b 2 {\displaystyle \scriptstyle a^{2}+b^{2}} . ，这二个是在1640年证明的，在1649年他在写给惠更斯的信上提到他用无穷递降法证明的第二个问题 ，费马和 福兰尼可 （ 英语 ： Frenicle ） 在其他平方形式上也有一些贡献，不过其中有些错误及不严谨之处 。

费马向英国的数学家提出了求解 x 2 − − --> N y 2 = 1 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}-Ny^{2}=1} 的挑战（1657年），但在几个月后就由Wallis及Brouncker证明 。费马认为他们的证明有效，但用了一个在其中未经证明的算法，费马自己是由无穷递降法找到证明。

费马发展了许多找亏格0或1曲线上点的方法，作法类似丢番图，有许多特殊的步骤，使用了切线法构建曲线，而不是用割线法 。

费马证明了 x 4 + y 4 = z 4 {\displaystyle \scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{4}} 不存在非寻常的正整数解。

费马在1637年声称（费马最后定理）证明了对于大于2的任意整数 n {\displaystyle \scriptstyle n} ，不存在 x n + y n = z n {\displaystyle \scriptstyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} 的非寻常的正整数解（目前已知唯一的证明是由数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒证明，远远的超过他的时代），但只在一本丢番图著作的旁边写到，而且他没有向别人宣称他已有了证明 。

欧拉

  欧拉

欧拉(1707–1783)对数论的兴趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引发，让他开始专注在费马的一些研究上 ，在费马没有使当代的数学家注意此一主题后，欧拉的出现称为“现代数论的重生” 。欧拉数论的贡献包括以下几项 ：

费马研究的证明，包括费马小定理（欧拉延伸到非质数的模数），以及 p = x 2 + y 2 {\displaystyle \scriptstyle p=x^{2}+y^{2}} 当且仅当 p ≡ ≡ --> 1 m o d 4 {\displaystyle \scriptstyle p\equiv 1\;mod\;4} ，这项研究可推导到所有整数都可以表示为四个平方数的证明（第一个完整证约瑟夫·拉格朗日格朗日提出，费马很快的也提出证明），和 x 4 + y 4 = z 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{2}} 没有非零整数解的证明，表示为费马最后定理 n=4 时成立，欧拉用类似方式证明了 n=3 的情形。

佩尔方程，最早误以为是欧拉证明 ，欧拉也写了连分数和佩尔方程的关系 。

二次式 ，继费马之后，欧拉继续研究哪些质数可以表示为 x 2 + N y 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}+Ny^{2}} ，其中有些显示二次互反律的性质 。

丢番图方程：欧拉研究一些亏格为0或1的丢番图方程 ，特别的是他研读丢番图的著作，试图要找到系统化的方法，但时机尚不成熟，几何数论才刚形成而已 。欧拉有注意到丢番图方程和椭圆积分之间的关系 。

分支

应用

密码学

孙子定理

素数

哥德巴赫猜想

素数公式

埃拉托斯特尼筛法

双生质数

有限域

p进数

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