微分几何

定义设n{displaystylen}是一个正整数，r{displaystyler}是正整数或∞∞-->{displaystyleinfty}，I{displaystyleI}是实数非

一元微分定义函数在一点的微分。其中红线部分是微分量dy{displaystyle{textrm{d}}y}，而加上灰线部分后是实际的改变量ΔΔ-->y{displaystyleDelta

历史微分几何（differentialgeometry）作为一个独特的学科的出现一般归功于高斯（CarlFriedrichGauss）和黎曼（BernhardRiemann）。黎曼在哥廷根的著名的康复讲座中描述了多个面向。他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法，并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用：物理学家马克士威（JamesClerkMaxwell）和数学家库尔巴斯托罗（GregorioRicci-Curbastro）和齐维塔（TullioLevi-Civita）的成果导入了张量分析和广义协变性的概念，它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。这些想法在1912年爱因斯坦发展广义相对论理论时取得关键性的应用。外尔（HermannWeyl）于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代，该课题基础性方面的工作被哈斯勒·惠特尼（Hassler...

定义一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。对于一个k-形式ω=fIdxI在R上，其定义如下：对于一般的k-形式ΣIfIdxI（其中多重指标I取遍所有{1,...,n}的基数为k的有序子集），我们只作了线性推广。注意如果上面有i=I{\displaystylei=I}则dxi∧∧-->dxI=0{\displaystyledx_{i}\wedgedx_{I}=0}（参看楔积）。性质外微分满足三个重要性质：线性楔积法则（参看反求导）d=0，蕴涵了混合偏导数的恒等式的公式，所以总有可以证明外微分由这些性质和其与0-形式（函数）上的微分的一致性唯一决定。d的核由闭形式组成，而其像由恰当形式组成（参看恰当微分）。坐标不变公式给定一个k-形式ω和任意光滑向量场V0,V1,…,Vk我们有其中[Vi,Vj]{\displaystyle[V_{i},V_{j}]}表示李括号，而帽子记号表示省略...

内在对外在从一开始到19世纪中叶，微分几何是从外在观点来进行研究的：曲线和曲面是被放在更高维欧几里得空间中来考虑的（譬如曲面被放在三维的背景空间中）。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作，在那里因为几何对象被认为是独立的给出的，所以不能说移到外面来考虑这个对象。内在的观点更加灵活，例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点，曲率和联络这样的结构比较难定义一些，所以采用内在的观点也不是没有代价的。这两种观点也是可以融通的，即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。（见纳什嵌入定理）技术要求微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分，p{\displaystylep}-形式在p{\displaystylep}维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的...