一元微分

定义

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量dy{\displaystyle {\textrm {d}}y}，而加上灰线部分后是实际的改变量Δ Δ -->y{\displaystyle \Delta y}

设函数y=f(x){\displaystyle y=f(x)}在某区间I{\displaystyle {\mathcal {I}}}内有定义。对于I{\displaystyle {\mathcal {I}}}内一点x0{\displaystyle x_{0}}，当x0{\displaystyle x_{0}}变动到附近的x0+Δ Δ -->x{\displaystyle x_{0}+\Delta x}（也在此区间内）时，如果函数的增量Δ Δ -->y=f(x0+Δ Δ -->x)− − -->f(x0){\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}可表示为 Δ Δ -->y=AΔ Δ -->x+o(Δ Δ -->x){\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}

通常把自变量x{\displaystyle x}的增量Δ Δ -->x{\displaystyle \Delta x}称为自变量的微分，记作dx{\displaystyle {\textrm {d}}x}，即dx=Δ Δ -->x{\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x}。

和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx{\displaystyle {\textrm {d}}x}，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数y=f(x){\displaystyle y=f(x)}的微分又可记作dy=f′(x)dx{\displaystyle {\textrm {d}}y=f"(x){\textrm {d}}x}。

几何意义

设Δ Δ -->x{\displaystyle \Delta 曲线是曲线y=f(x){\displaystyle y=f(x)}上的点P{\displaystyle P}在横坐标上的增量，Δ Δ -->y{\displaystyle \Delta y}是曲线在点P{\displaystyle P}对应Δ Δ -->x{\displaystyle \Delta x}在纵坐标上的增量，dy{\displaystyle {\textrm {d}}y}是曲线在点P{\display切线yle P}的切线对应Δ Δ -->x{\displaystyle \Delta x}在纵坐标上的增量。当|Δ Δ -->x|{\displaystyle \left|\Delta x\right|}很小时，|Δ Δ -->y− − -->dy|{\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|}比|Δ Δ -->y|{\displaystyle \left|\Delta y\right|}要小得多(高阶无穷小)，因此在点P{\displaystyle P}附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子

设有函数f:x↦ ↦ -->x2{\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}，考虑它从某一点x{\displaystyle x}变到x+dx{\displaystyle x+{\textrm {d}}x}。这时，函数的改变量f(x+dx)− − -->f(x){\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)}等于：

其中的线性主部：A=2x{\displaystyle A=2x}，高阶无穷小是o(dx)=(dx)2{\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}}。 因此函数f{\displaystyle \textstyle f}在点x{\displaystyle \textstyle x}处的微分是dy=2xdx{\displaystyle {\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x}。函数的微分与自变量的微分之商dydx=2x=f′ ′ -->(x){\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)}，等于函数的导数。

以下有一例子： 当方程式为y=2x2{\displaystyle y=2x^{2}}是，就会有以下的微分过程。

微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数u{\displaystyle u}、v{\displaystyle v}可微，那么：

d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv{\displaystyle d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv}

d(uv)=udv+vdu{\displaystyle d(uv)=udv+vdu}

d(uv)=vdu− − -->udvv2{\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}

若函数y(u){\displaystyle y(u)}可导，那么d[y(u)]=y′(u)du{\displaystyle d[y(u)]=y"(u)du}

极值

多元函数微分

当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数），但仍然有微分的概念。

定义

设f{\displaystyle f}是从欧几里得空间R（或者任意一个内积空间）中的一个开集Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }射到R的一个函数。对于Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }中的一点x{\displaystyle x}及其在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }中的邻域Λ Λ -->{\displaystyle \Lambda }中的点x+h{\displaystyle x+h}。如果存在线性映射A{\displaystyle A}使得对任意这样的x+h{\displaystyle x+h},

那么称函数f{\displaystyle f}在点x{\displaystyle x}处可微。线性映射A{\displaystyle A}叫做f{\displaystyle f}在点x{\displaystyle x}处的微分，记作dfx{\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}。

如果f{\displaystyle f}在点x{\displaystyle x}处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点x{\displaystyle x}都有微分dfx{\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}时，可以考虑将x{\displaystyle x}映射到dfx{\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}的函数：

这个函数一般称为微分函数。

性质

如果f{\displaystyle f}是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。

在R（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

具体来说，对于一个改变量：h=(h1,h2,… … -->,hn)=∑ ∑ -->i=1nhiei{\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}}，微分值：

可微的必要条件：如果函数f{\displaystyle f}在一点x0{\displaystyle x_{0}}处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素∂ ∂ -->fi∂ ∂ -->xj(x0){\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}都存在，但反之不真。

可微的充分条件：如果函数f{\displaystyle f}在一点x0{\displaystyle x_{0}}的雅克比矩阵的每一个元素∂ ∂ -->fi∂ ∂ -->xj(x0){\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}都在x0{\displaystyle x_{0}}连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

例子

函数f:(x,y)↦ ↦ -->(x2+y2,(1− − -->x2− − -->y2)x− − -->y,x− − -->(1− − -->x2− − -->y2)y){\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)}是一个从R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}射到R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}的函数。它在某一点(x,y){\displaystyle (x,y)}的雅可比矩阵为：

微分为：df(x,y):h↦ ↦ -->Jf(x,y)(h){\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)}，也就是：

微分与微分形式

如果说微分是导数的一种推广，那么微分形也就是说将一个向量v{\displaystyle v}射到它的第i{\displaystyle i}个分量vi{\displaystyle v^{i}}的映射。而dxi1∧ ∧ -->⋯ ⋯ -->∧ ∧ -->dxik{\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}是满足：

的k-形式。

特别地，当f{\displaystyle f}是一个从R射到R 的函数时，可以将dfx{\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}写作：

正是上面公式的一个特例。

参见

微积分

导数

积分

偏导数

外微分

泰勒公式

参考来源

齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 

Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8. 

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