族谱网 头条 人物百科

微分几何

2020-10-16
出处:族谱网
作者:阿族小谱
浏览:784
转发:0
评论:0
内在对外在从一开始到19世纪中叶,微分几何是从外在观点来进行研究的:曲线和曲面是被放在更高维欧几里得空间中来考虑的(譬如曲面被放在三维的背景空间中)。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作,在那里因为几何对象被认为是独立的给出的,所以不能说移到外面来考虑这个对象。内在的观点更加灵活,例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点,曲率和联络这样的结构比较难定义一些,所以采用内在的观点也不是没有代价的。这两种观点也是可以融通的,即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。(见纳什嵌入定理)技术要求微分几何的工具也就是流形上的微积分:包括对于流形,切丛,余切丛,微分形式,外微分,p{\displaystylep}-形式在p{\displaystylep}维子流形上的积分以及斯托克斯定理,楔积,和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关;但对于几何上的...

内在对外在

从一开始到19世纪中叶,微分几何是从外在观点来进行研究的:曲线和曲面是被放在更高维欧几里得空间中来考虑的(譬如曲面被放在三维的背景空间中)。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作,在那里因为几何对象被认为是独立的给出的,所以不能说移到外面来考虑这个对象。

内在的观点更加灵活,例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点,曲率和联络这样的结构比较难定义一些,所以采用内在的观点也不是没有代价的。

这两种观点也是可以融通的,即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。(见纳什嵌入定理)

技术要求

微分几何的工具也就是流形上的微积分:包括对于流形,切丛,余切丛,微分形式,外微分, p {\displaystyle p} -形式在 p {\displaystyle p} 维子流形上的积分以及斯托克斯定理,楔积,和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关;但对于几何上的应用来讲,必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数:曲率的很多表现方式。

可微流形是一个拓扑空间,它有一个开覆盖,其中的每个开集同胚于 R n {\displaystyle R^{n}} 中的一个开单位球。并且,如果 f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} 是其中两个同胚映射,则函数 f − − --> 1 ∘ ∘ --> g {\displaystyle f^{-1}\circ g} 无限可微。我们称一个函数无限可微,如果它和每个同胚的复合是从开球到 R {\displaystyle R} 的无限可微函数。

在流形的每一点,有一个该点的切空间,它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度(方向和大小)所组成。对一个n维流形,每点的切空间是一个n维向量空间,或者说是一个 R 。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间,除以 所有取值为0并且一阶导数为0的函数空间(所得到的余空间)。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”,因而只需要用到可微性。

向量场是从流形到它的切空间的并集(切丛)的函数,在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。 向量场可微,如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数:曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解,如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。

交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V 的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数,则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。

分支

黎曼几何

黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形,他们因此 无穷小 得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度,散度,曲线的长度等概念得到了推广;而无须假设空间 整体 上有这么对称。

复几何

研究的对象是 复流形 。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形,因此与复代数几何有着紧密的联系。

辛几何

这是研究 辛流形 的学科。一个辛流形是带有辛形式(也就是,一个闭的非退化2-形式)的微分流形。

切触几何

这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说,在(2 n +1)微流形上的切触结构是一个1-形式 α α --> {\displaystyle \alpha } 使得 α α --> ∧ ∧ --> ( d α α --> ) n {\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}} 处处非退化。

芬斯勒几何

芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形,也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。

参考书目

Michael Spivak (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry ,(5 Volumes),3rd Edition.

Manfredo Do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall.

Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994), Riemannian Geometry.

John McCleary (1994), Geometry from a Differentiable Viewpoint

Ethan D. Bloch (1996), A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry

Alfred Gray (1998), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica , 2nd ed.


免责声明:以上内容版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者,感谢每一位的分享。

——— 没有了 ———
编辑:阿族小谱
发表评论
写好了,提交
{{item.label}}
{{commentTotal}}条评论
{{item.userName}}
发布时间:{{item.time}}
{{item.content}}
回复
举报
点击加载更多
打赏作者
“感谢您的打赏,我会更努力的创作”
— 请选择您要打赏的金额 —
{{item.label}}
{{item.label}}
打赏成功!
“感谢您的打赏,我会更努力的创作”
返回

更多文章

更多精彩文章
打赏
私信

推荐阅读

· 曲线的微分几何
定义设n{\displaystylen}是一个正整数,r{\displaystyler}是正整数或∞∞-->{\displaystyle\infty},I{\displaystyleI}是实数非空区间,t{\displaystylet}属于I{\displaystyleI}。一个Cr{\displaystyleC^{r}}类(即γγ-->{\displaystyle\gamma}为r{\displaystyler}次连续可微)向量值函数称为一条Cr{\displaystyleC^{r}}类参数曲线或曲线γγ-->{\displaystyle\gamma}的一个Cr{\displaystyleC^{r}}参数化,t{\displaystylet}称为曲线γγ-->{\displaystyle\gamma}的参数,γγ-->(I){\displaystyle\ga...
· 微分
一元微分定义函数在一点的微分。其中红线部分是微分量dy{\displaystyle{\textrm{d}}y},而加上灰线部分后是实际的改变量ΔΔ-->y{\displaystyle\Deltay}设函数y=f(x){\displaystyley=f(x)}在某区间I{\displaystyle{\mathcal{I}}}内有定义。对于I{\displaystyle{\mathcal{I}}}内一点x0{\displaystylex_{0}},当x0{\displaystylex_{0}}变动到附近的x0+ΔΔ-->x{\displaystylex_{0}+\Deltax}(也在此区间内)时,如果函数的增量ΔΔ-->y=f(x0+ΔΔ-->x)−−-->f(x0){\displaystyle\Deltay=f(x_{0}+\Deltax)-f(x_{0})}可...
· 外微分
定义一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。对于一个k-形式ω=fIdxI在R上,其定义如下:对于一般的k-形式ΣIfIdxI(其中多重指标I取遍所有{1,...,n}的基数为k的有序子集),我们只作了线性推广。注意如果上面有i=I{\displaystylei=I}则dxi∧∧-->dxI=0{\displaystyledx_{i}\wedgedx_{I}=0}(参看楔积)。性质外微分满足三个重要性质:线性楔积法则(参看反求导)d=0,蕴涵了混合偏导数的恒等式的公式,所以总有可以证明外微分由这些性质和其与0-形式(函数)上的微分的一致性唯一决定。d的核由闭形式组成,而其像由恰当形式组成(参看恰当微分)。坐标不变公式给定一个k-形式ω和任意光滑向量场V0,V1,…,Vk我们有其中[Vi,Vj]{\displaystyle[V_{i},V_{j}]}表示李括号,而帽子记号表示省略...
· 微分流形
历史微分几何(differentialgeometry)作为一个独特的学科的出现一般归功于高斯(CarlFriedrichGauss)和黎曼(BernhardRiemann)。黎曼在哥廷根的著名的康复讲座中描述了多个面向。他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法,并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用:物理学家马克士威(JamesClerkMaxwell)和数学家库尔巴斯托罗(GregorioRicci-Curbastro)和齐维塔(TullioLevi-Civita)的成果导入了张量分析和广义协变性的概念,它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。这些想法在1912年爱因斯坦发展广义相对论理论时取得关键性的应用。外尔(HermannWeyl)于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代,该课题基础性方面的工作被哈斯勒·惠特尼(Hassler...
· 微分同胚
定义对给定的两个微分流形M,N{\displaystyleM,N},若对光滑映射f:M→→-->N{\displaystylef:M\toN},存在光滑映射g:N→→-->M{\displaystyleg:N\toM}使得f∘∘-->g=idN{\displaystylef\circg=\mathrm{id}_{N}}、g∘∘-->f=idM{\displaystyleg\circf=\mathrm{id}_{M}},则称f{\displaystylef}为微分同胚。此时逆映射g{\displaystyleg}是唯一的。若在微分流形M,N{\displaystyleM,N}之间存在微分同胚,则称M{\displaystyleM}与N{\displaystyleN}是微分同胚的,通常记为M≃≃-->N{\displaystyleM\simeqN}。对于Cr{\d...

关于我们

关注族谱网 微信公众号,每日及时查看相关推荐,订阅互动等。

APP下载

下载族谱APP 微信公众号,每日及时查看
扫一扫添加客服微信