历史

在公元前1650年左右的莱因德数学纸草书中，棱锥已经作为数学对象被几何学家研究。纸草书的56至59题是有关正方锥的底边、高以及底面和侧面形成的二面角之间关系的计算，如已知高和底边长度，求二面角等 。传说由欧几里德在公元前三世纪写成的《几何原本》中，第十二章第七个命题证明了：三角柱的体积等于同底同高的三角锥的三倍，但《几何原本》中没有给出直接的棱锥体积公式 。公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式。公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式 。

简介

棱锥的底面是多边形，其中的顶点和多边形所在平面外的一点用直线段相连。平面外的这一点称为 棱锥的顶点 ，底面多边形的顶点称为 底面顶点 。除了底面，其余的面称为棱锥的 侧面 ，都是由棱锥顶点和多边形的两个相邻顶点构成的三角形。连接底面顶点和棱锥顶点的直线段，也是两个相邻侧面的公共边，称为棱锥的 侧棱 。一个以 n 边形为底面的棱锥，总计有 n 个侧面，加上底面，一共有 n +1个面；多边形的每个顶点对应一条侧棱，一共有 n 条侧棱。如果两条侧棱不在同一个侧面，那么它们确定的平面截棱锥所得的截面是一个过棱锥顶点的三角形，其中两条边分别是两条侧棱，另一条边在底面上，是底面多边形的一条对角线，这个平面称为棱锥的一个 对角面 。

如果底面是三角形，那么棱锥称为三棱锥或三角锥。如果每个面（包括底面）都是正三角形，这时的三棱锥就是正四面体。如果仅仅底面为正三角形，顶点在底面的投影是正三角形的中心，那么三个侧面都是全等的等腰三角形。这样的三棱锥叫做正三棱锥。同样地，底面为正多边形，而且另外一个顶点在底面上的投影是多边形的中心，这样的棱锥称为正棱锥。正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形，侧棱都等长。每个侧面三角形以多边形的边为底边的话，高称为棱锥的斜高。

如果平面外的顶点在底面的投影正好是多边形的某个顶点（等价于说平面外的顶点和某个顶点连成的直线垂直于地面），这样的棱锥称为直棱锥或直角棱锥。连接平面外顶点和其投影顶点的侧棱垂直于底面，所以包含这条侧棱的两个侧面也垂直于底面。

棱锥的底面多边形不一定是凸多边形。如果是星形，则称为星锥。例如，底面是五角星，则对应的棱锥叫做五星锥。

性质

体积

棱锥的体积取决于平面外顶点到底面的距离，以及底面多边形的面积。前者称为棱锥的高，后者称为棱锥的底面积。设 h {\displaystyle h} 为棱锥的高， S {\displaystyle S} 为棱锥的底面积， V {\displaystyle V} 为棱锥的体积，则棱锥的体积可以用以下公式计算 ：

这个公式早在公元三世纪就得到了证明。现代的证明一般使用积分。假设有棱锥 PA 1 A 2 ...A n ，其中 A 1 A 2 ...A n 为底面的 n 边形， P 为棱锥顶点。设 P 在底面的投影为 Q 点， PQ 的长度为 h 。在线段 PQ 上取一点 X ，使得线段 PX 的长度为 y ：0 ≤ y ≤ h ，那么过点 X 而且与底面平行的平面截棱锥得到的形状是一个和底面的 n 边形相似的 n 边形，记作 A x1 A x2 ...A xn ，它的面积 S y 与底面积 S 的比值等于 PX 与 PQ 的比值的平方：

在点 X 附近截取的“一片”棱锥“切片”，它的体积大约等于： d V y ≈ ≈ --> ( y h ) 2 S d y {\displaystyle dV_{y}\approx \left({\frac {y}{h}}\right)^{2}Sdy}

所以棱锥的体积等于积分： V = ∫ ∫ --> y = 0 h d V y = ∫ ∫ --> y = 0 h ( y h ) 2 S d y = h 3 3 ⋅ ⋅ --> S h 2 = 1 3 S h . {\displaystyle V=\int _{y=0}^{h}dV_{y}=\int _{y=0}^{h}\left({\frac {y}{h}}\right)^{2}Sdy={\frac {h^{3}}{3}}\cdot {\frac {S}{h^{2}}}={\frac {1}{3}}Sh.}

对于正棱锥，假设它的底面是正 n 边形，边长为 a ，高是 h ，那么底面积是： S = n a 2 4 cot ⁡ ⁡ --> π π --> n . {\displaystyle S={\frac {na^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}.} 所以它的体积是：

V = n a 2 h 12 cot ⁡ ⁡ --> π π --> n . {\displaystyle V={\frac {na^{2}h}{12}}\cot {\frac {\pi }{n}}.}

表面积

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积 S c

棱锥的表面积等于棱锥的侧面积 S c 加上底面积 S 。假设顶点的投影 Q 点到第 i 个侧面对应的底边的距离是 d i ，底边的长度是 a i ，那么棱锥的侧面积：

对于正 n 棱锥，顶点到底面的投影是底面正 n 边形的中心。所以投影点到每一边的距离都相等： d 1 = d 2 = ⋯ ⋯ --> = d n = d . {\displaystyle d_{1}=d_{2}=\cdots =d_{n}=d.} 因此棱锥的斜高也就是侧面三角形的高： l = h 2 + d 2 . {\displaystyle l={\sqrt {h^{2}+d^{2}}}.} 棱锥的侧面积 ：

其中 p 是底面正 n 边形的周长。假设底面正 n 边形的边长是 a ，高是 h ，那么它的周长是 na ，中心到每一边的距离是 a 2 cot ⁡ ⁡ --> π π --> n {\displaystyle {\frac {a}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}} 。所以斜高是： h 2 + a 2 4 cot 2 ⁡ ⁡ --> π π --> n {\displaystyle {\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}} ，侧面积是：

正棱锥

若一锥体底面为正多边形则称为正棱锥。正棱锥是一个无穷集合，最小从三角锥开始，因为二角锥已退化成平面了。

此外锥体亦可以做为球面镶嵌：

锥体中只有一种属于正多面体，即正三角锥。

参看

金字塔：某些金字塔是棱锥状建筑，大部分是四棱锥；

圆锥：底面为圆形而不是多边形的锥体；

棱台：将棱柱沿平行于底面的平面截取出来的几何体。

双锥体：将棱锥于底面相接合所形成的几何体。

反棱锥：棱柱与反棱柱之关系在棱锥上的类比

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