概述

δ 函数的图形通常可以视为整条 x 轴和正 y 轴。虽然称为函数，但 δ 函数并非真正的函数，至少它的值域不在实数以内。例如， f ( x ) = δ ( x ) 和 g ( x ) = 0 这两个数学对象除了在 x = 0 以外都有相同的值，但其积分却不相同。根据勒贝格积分理论，若 f 和 g 为函数，使得 f = g 几乎处处成立，则 f 可积当且仅当 g 可积且 f 和 g 的积分相同。 要严谨处理 δ 函数，须用到测度论或分布。

δ 函数可以代表一个既高又窄的尖峰函数（脉冲），用以描述点电荷和质点等抽象化的概念。举例来说，要描述球杆击球的动力学问题，可以用 δ 函数描述击球那一刻的力。不但各种方程会因此简化，而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动，而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。

在应用数学中， δ 函数往往能看作是某函数序列的极限（弱极限），该序列中的每一项都在原点处有一个尖峰，例如以零为中心、方差趋向零的高斯分布序列。

历史

约瑟夫·傅里叶在他的《热分析理论》（法语： Théorie analytique de la chaleur ）中呈现了以下的方程，今天称为傅里叶积分定理：

这相等于以这种方式引入了 δ 函数：

之后，奥古斯丁·路易·柯西用指数函数表达了这一定理：

柯西指出，在某些情况下，积分的计算顺序会影响计算结果。

分布理论允许重新排列柯西方程，使它更接近以上傅里叶的方程：

其中 δ 函数可表达为：

在接下来的几个世纪，数学家才逐渐理解这一指数形式的严谨含义，以及方程中的函数 f 所需的条件。用旧有的数学观念来理解，会有以下的问题：

之后， 米歇尔·普朗歇尔 （ 英语 ： Michel Plancherel ） （Michel Plancherel）开创性的 L 理论（1910年）、诺伯特·维纳和 萨洛蒙·博赫纳 （ 英语 ： Salomon Bochner ） （Salomon Bochner）的贡献（1930年前后）以及最后洛朗·施瓦茨归纳这一切的分布理论（1945年）进一步推广了傅里叶积分， 并建立了狄拉克 δ 函数的严格定义。

1827年，柯西首次明确写下一个无限高的单位脉冲函数（柯西分布的无限小版本）。 西莫恩·德尼·泊松和古斯塔夫·基尔霍夫之后在研究波传播的时候，考虑过这一函数。基尔霍夫与赫尔曼·冯·亥姆霍兹将单位脉冲描述为高斯分布的极限，这也符合开尔文勋爵对点热源的描述。19世纪末，奥利弗·亥维赛利用形式上的傅里叶级数对单位脉冲进行操作。 1930年，保罗·狄拉克在影响深远的《量子力学原理》中引入了 δ 函数作为一种“方便的记号”，故此该函数今天以他命名。

定义

笼统地来说， δ 函数是在实数线上的一个函数，在原点上无限，在所有其他点上为零，

并同时满足以下条件

这只是一个概略的表述： δ 函数并不是一个严格意义上的函数，没有任何定义在实数线上的函数能满足以上的条件。 更严谨地来说， δ 函数可以定义为分布或测度。

测度

测度是其中一种严谨定义 δ 函数的方法。作为一个测度， δ 函数取一个实线 R 的子集 A ，当 0 ∈ A 时输出 δ ( A ) = 1 ，否则 δ ( A ) = 0 。 如果把 δ 函数想象成位于0的一个理想化的质点，则 δ ( A )代表集合 A 所包含的质量。一个函数相对于 δ 的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数 f ，这一积分满足：

测度 δ 相对于勒贝格测度不绝对连续，它其实是一个 奇异测度 （ 英语 ： Singular measure ） 。因此，它并不具有拉东-尼科迪姆导数，也就是不存在满足以下条件的函数 δ ：

虽然这种写法仍非常常见，但是它实际上只是一种方便的记号，而不是任何有良好定义的（黎曼或勒贝格）积分。

作为 R 上的概率测度，狄拉克测度可以通过它的累积分布函数──单位阶跃函数──来定义：

换句话说， H ( x )是积累指示函数 1 (−∞, x ] 相对于测度 δ 的积分：

δ 函数相对于一个连续函数的积分可以通过黎曼－斯蒂尔杰斯积分严格定义：

δ 函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于1。

分布

在分布理论中，一个广义函数并不像普通函数一样直接定义，而是在它相对其他函数积分的时候，以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路，只须定义 δ 函数相对某个足够“良好”的测试函数的“积分”就足够了。如果 δ 函数已经定义为测度，则这种积分可以是测试函数相对于这 δ 测度的勒贝格积分。

测试函数空间一般可包括所有 R 上的紧支撑光滑函数。作为一个分布， δ 函数是在测试函数空间上的线性泛函，定义为

对于所有测试函数 φ 。

若要使 δ 成为一个正式的分布，它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的。在测试函数空间上的线性泛函 S 要能够良好定义一个分布，其必要和充分条件是，对于每个正整数 N ，有整数 M N 和常数 C N ，使得对每个测试函数 φ ，以下不等式都成立：

当 S 就是 δ 分布时， C N = 1 ， M N = 0 对于所有 N ，就能满足这条不等式。因此， δ 是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布，其支撑集是{0}。

δ分布有几种等价的定义。例如，它是亥维赛阶跃函数的分布导数，也就是说，对于任何测试函数 φ ，

直观而言，如果允许分部积分法，以上的积分就会简化为

斯蒂尔杰斯积分的确有一种分部积分法，可如下表示：

在测度论中，狄拉克测度通过积分产生分布。相反，公式( 1 )在所有紧支撑连续函数 φ 空间上定义了一个 Daniell积分 （ 英语 ： Daniell integral ） ，且根据里斯表示定理，该积分可以表示为 φ 相对于某拉东测度的勒贝格积分。

当讲到“狄拉克 δ 函数”时，一般指的是分布，而不是测度。因此一些文献也会称之为“狄拉克 δ 分布”。测度论中相对应的概念则称为 狄拉克测度 （ 英语 ： Dirac measure ） 。

推广

在 n 维欧几里得空间 R 中，狄拉克 δ 函数可以定义为一个测度，使得对于所有紧支撑连续函数 f ，满足

作为一个测度， n 维 δ 函数是每个独立变量的1维 δ 函数的积测度。也就是说，若 x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) ，则

上文的1维 δ 分布也存在 n 维推广。 尽管在物理学和工程学中应用广泛，公式( 2 )还是必须小心使用，因为多个分布的积只有在较狭窄的条件下才有良好的定义。

狄拉克测度这个概念可以定义在任何集合上。 设 X 是集合， x 0 ∈ X ，Σ为 X 子集上的任何σ-代数，则对每个集合 A ∈ Σ 可以定义测度：

这就是单位质量集中在 x 0 处的狄拉克测度。

δ 函数也可以推广至微分流形，由于具有微分结构，因此能保留它作为分布的一些性质。流形 M 上以 x 0 ∈ M 为中心的 δ 函数可定义为以下分布：

对于所有 M 上的紧支撑光滑实数值函数 φ 。 一个常见的特殊情况是， M 是欧几里得空间 R 中的一个开集。

在局部紧豪斯多夫空间 X 中，集中在点 x 的狄拉克测度是对应于对紧支撑连续函数 φ 的Daniell积分( 3 )的拉东测度。推广到这一层次，已经无法进行普通的微积分，不过仍然可以使用抽象分析中的许多工具。例如，映射 x 0 ↦ ↦ --> δ δ --> x 0 {\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}} 是把 X 嵌入到包含所有在 X 上的有限拉东测度的空间（具有淡拓扑）的一个连续函数。而且， X 在这一嵌入下的值域的凸包，在在 X 上的概率测度空间中是一个稠密集。

性质

缩放与对称

对非零标量 α ， δ 函数有以下缩放性质：

所以

δ 函数是一个偶分布，也就是说

因此 δ 函数属于−1阶齐次函数。

代数性质

δ 和 x 的分布积等于零：

相反，若 xf ( x ) = xg ( x ) ，其中 f 和 g 为分布，则存在常数 c 使得

平移

延时 δ 函数的积分为：

因此 δ 函数有“筛选” 或“采样”的功能──可以筛选出函数在 t = T 的值。

可以推论，函数 f ( t )与延时 δ 函数卷积后会受到延时：

这必须在 f 是缓增分布的前提下才会成立（见下文关于傅里叶变换的讨论）。以一个特殊情况为例，有恒等式如下（把 δ 视为分布）

与函数的复合

更一般地来说， δ 分布可以和光滑函数 g ( x )复合，使得熟悉的变量更换公式成立：

条件是 g 为连续可微函数且处处非零。 换言之， δ δ --> ∘ ∘ --> g {\displaystyle \delta \circ g} 作为一个分布具有唯一的定义，使得这条恒等式对于一切紧支撑测试函数 f 都成立。因此，定义域必须切割开来，排除 g ′ = 0这一点。如果 g 处处非零，那么此分布满足 δ ( g ( x )) = 0 ；否则如果 g 在 x 0 处有一个实数根，则

很自然地，对连续可微函数 g ，可以把 δ ( g ( x ))“定义”为

其中求和跑遍 g ( x )的所有根，这些根都假设为单根。 比如，

δ 分布的广义缩放特性，用积分写出：

在 n 维中的性质

δ 分布在 n 维空间中的缩放性质如下：

从而 δ 是一个− n 阶齐次分布。 δ 分布在任何镜射和旋转 ρ 下不变：

和单变量时一样，可以唯一地定义 δ 与双利普希茨函数 g : R → R 的复合，使得恒等式

对于所有紧支撑函数 f 成立。

利用几何测度论中的余面积公式，可以定义 δ 函数与从一个欧几里得空间到另一个不同维度的空间的浸没的复合，所产生的结果是一种流。在连续可微函数 g : R → R 满足 g 的梯度处处非零的特殊情况下，以下恒等式成立：

其中右边的积分范围是 g (0)，即 g ( x ) = 0 所定义的一个 ( n − 1) 维曲面（依闵可夫斯基容度）。这叫做单层（simple layer）积分。

更一般地来说，若 S 是 R 中的光滑超曲面，则可以把 S 联系到在 S 上对任何紧支撑光滑函数 g 积分的分布：

其中 σ 是联系到 S 的超曲面测度。这种推广与 S 上的单层位势的位势论相关。设 D 是 R 中具有光滑边缘 S 的区域，则 δ S 等于 D 的指示函数的（分布意义上的）法向导数：

其中 n 是向外法线。

傅里叶变换

δ 函数属于缓增分布，所以拥有良好定义的傅里叶变换。正式地说，（在一些傅里叶变换惯例下）有

一个分布的傅里叶变换的定义是，在缓增分布与速降函数的对偶配对 ⟨ ⟨ --> ⋅ ⋅ --> , ⋅ ⋅ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 下，要求傅里叶变换是自伴的。从而， δ δ --> ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\delta }}} 定义为满足以下条件的唯一缓增分布：

对于一切速降函数 φ 。从此可推导，的确 δ δ --> ^ ^ --> = 1 {\displaystyle {\hat {\delta }}=1} 。

这条恒等式意味着， δ 函数与任何其他缓增分布 S 的卷积即等于 S ：

这意味着， δ 是缓增分布上的卷积的单位元。而且，在卷积下的紧支撑分布空间是一个以 δ 函数为单位元的结合代数。这在信号处理应用中尤其重要，因为与缓增分布的卷积属于线性时不变系统，而基于 δ 函数的线性时不变系统可以测量该缓增分布的冲激响应。只要对 δ 作适当的近似，就可以以任意要求的程度算出冲激响应。一旦知道冲激响应，就能完全描述整个系统的特征。详见线性时不变系统理论：冲激响应和卷积。

缓增函数 f ( ξ ) = 1的反傅里叶变换等于 δ 函数。更正式地表达，

更严谨地来说，有

对于一切速降函数 f 。

这样， δ 函数暗示著在 R 上的傅里叶核的正交性，即：

换句话说，缓增分布

的傅里叶变换是

这同样可以通过对傅里叶变换要求自伴性而得出。

利用傅里叶变换的解析延拓，可以得出 δ 函数的拉普拉斯变换：

分布导数

狄拉克 δ 分布的分布导数是一个分布 δ ′，它对于所有紧支撑光滑测试函数 φ 定义为

此处第一个等号类似于分部积分，因为若 δ 是个真正的函数，则

δ 的 k 阶导数的定义大同小异，对任何测试函数 φ ，

从而 δ 是个无限可微分布。

δ 函数的一阶微分是差商

的分布极限。 更准确地说，有

其中τ h 是平移算子，对于函数的定义是 τ h φ ( x ) = φ ( x + h ) ，而对于分布 S 的定义是

在电磁学中， δ 函数的一阶导数代表一个位于原点的点磁偶极，因此也称为“偶极”或偶函数。 δ 函数的导数满足一些基本性质，包括：

这些性质都可以通过对测试函数积分，并运用分部积分法推导而出。

另外， δ ′与紧支撑光滑测试函数 f 的卷积为

这来自卷积的分布导数的性质。

更高维度

更一般地说，在 n 维欧几里得空间 R 中的开集 U 上，以点 a ∈ U 为中心的狄拉克 δ 分布定义为

对于一切 φ ∈ S ( U ) ，其中 S ( U )是所有 U 上的紧支撑光滑函数的空间。若 α = ( α 1 , ..., α n ) 是任何多重指标，而∂ 表示相关的混合偏导数算子，则 δ a 的 α 阶导数∂ δ a 是

对于一切 φ ∈ S ( U ) 。也就是说， δ a 的 α 阶导数是个分布，它在任何测试函数 φ 的值等于 φ 在点 a 的 α 阶导数（加上合适的正负号）。

δ 函数的一阶偏导数可以视为沿着坐标平面的双层。更一般地来讲，支撑在一个曲面上的单层的法向导数是在该曲面上的双层，并表示一个层磁单极。 δ 函数的更高阶导数，在物理学里称为多极。

高阶导数很自然地能够建构具有单元素支撑集的分布的完整结构。若 S 是任何在 U 上、支撑集为一个点{ a }的分布，那么存在整数 m 和一组系数 c α ，使得

δ 函数的表示

δ 函数可以视为一个函数序列的极限：

其中 η ε ( x )有时称为 初生 δ 函数 。这一极限是个弱极限：对于一切紧支撑连续函数 f ，有

或者，这个极限对于一切紧支撑光滑函数 f 都存在。这两种不同的弱收敛模式往往有十分微妙的差异，前者是依测度的淡拓扑收敛，而后者则是分布的收敛。

对单位元的近似

通常一个初生 δ 函数 η ε 可以如下建构。设 η 是一个 R 上的总积分为1的绝对可积函数，并定义

在 n 维当中，改用以下缩放

在简单的变量更换之后，可见 η ε 的积分同样等于1。 不难证明，( 5 )对于一切连续紧支撑函数 f 都成立，从而 η ε 作为一个测度向 δ 弱收敛。

这样建构的 η ε 叫做 对单位元的近似 ， 因为包含所有绝对可积函数的空间 L ( R )在函数卷积这一作用下闭合： f ∗ g ∈ L ( R ) ，当 f 和 g 都属于 L ( R )。然而， L ( R )在卷积下并没有单位元：没有任何元素 h 使得 f ∗ h = f 对于所有 f 都成立。但序列 η ε 仍然能够近似这种单位元，就是说

在平均收敛（即 L 中的收敛）下，此极限存在。要确保几乎处处点收敛，还需要对 η ε 加上更多的前提，比如它必须是对应于一个紧支撑函数的柔化函数。

如果最初的 η = η 1 本身已经是光滑的而且具有紧支撑，那么整个序列就叫做柔化序列。标准柔化序列可以通过选择某个适当归一化的冲激函数 η 来定义，例如

在数值分析等的一些情况下，以分段线性函数对单位元进行近似会更加有用。可以定义 η 1 是一个三角形函数，然后有

它们全部都是连续的且具有紧支撑，但不是光滑的，从而也不是柔化函数。

概率论

在概率论中，很自然地会加入一项额外条件，亦即要求对单位元近似的初始 η 1 是正的，因为这样它就会代表一个概率分布。有时需要和概率分布来卷积的原因是，输出值是输入值的凸组合，因此处于最高与最低输入值之间，从而能够避免过冲或下冲。取 η 1 为任何随意的概率分布，并如上设 η ε ( x ) = η 1 ( x / ε )/ ε ，就可以取得对单位元的近似。此外，如果 η 的平均值为0，且更高矩较小，那么序列就会向 δ 函数收敛得更快。比如，设 η 1 是 [−1/2, 1/2] 上的均匀分布，即矩形函数，则：

又以维格纳半圆分布举例，

这是连续的，且具有紧支撑，但因为不是光滑的，所以也不是柔化函数。

半群

初生 δ 函数往往以卷积半群的身份出现。这相等于另加一个条件── η ε 与 η δ 的卷积必须满足

对于所有 ε 和 δ > 0 。 L 中形成初生 δ 函数的卷积半群一定是对单位元的近似（用上式的意思），但半群设下了限制性颇强的条件。

在实践当中，对单位元的半群近似出现在物理学所启发的椭圆型和抛物型偏微分方程中，作为基本解或格林函数。在应用数学中，半群是线性时不变系统的输出。抽象地来说，若 A 是一个作用在 x 的函数上的线性算子，则在对初值问题求解时会出现卷积半群：

其中极限同样是弱极限。设 η ε ( x ) = η ( ε , x ) ，得出相关的初生 δ 函数。

下面将列出若干有物理意义的、在此类基本解中所出现的卷积半群。

热核，定义是

代表的是一条无限长丝在 t > 0时的温度，如果在 t = 0时在原点处储藏了一个单位的热能。此半群依热传导方程导方程演变：

在概率论中， η ε ( x )是一个平均值为0、方差为 ε 的正态分布。它代表了一个粒子从原点开始，作标准布朗运动，在 t = ε 这一刻的概率密度函数。在这种情况下，半群条件也就体现了布朗运动的马尔可夫性质。

在高维欧几里得空间 R 中，热核等于

并且在作必要的修改后有着相同的物理解释。而且，当 ε → 0 ， η ε → δ ，因此它也代表了一个初生 δ 函数。

泊松核

是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。 它代表了一个半无限平板在边缘的电势固定为 δ 函数时的电势。泊松核也和柯西分布有紧密的联系。半群根据以下方程演变：

其中的算子严谨地定义为傅里叶乘数

震荡积分

在波动力学等物理范畴中，须要解不少双曲型偏微分方程，而这些方程有更多的奇异解。因此，从相关的柯西问题的基本解所产生的初生 δ 函数，一般都是震荡积分。例如，从穿音速气体动力学的 欧拉-特里科米方程 （ 英语 ： Euler–Tricomi equation ） 的解， 取得归一化艾里函数

虽然用的是傅里叶变换，但是不难看到，这从某种意义上产生了一个半群，只不过由于它不是绝对可积的，所以无法从上文更强的意义来定义半群。许多用振荡积分来建构的初生 δ 函数，只能从分布意义上收敛（见下文的例子狄利克雷核），而不能从测度意义上收敛。

另一个例子是 R 中的波动方程的柯西问题：

解 u 代表了一条具有无限弹性的弦，一开始在原点处受到扰动后，距离平衡的位移程度。

其他同类的对单位元的近似还包括，广泛应用于电子和电信中的sinc函数

以及贝塞尔函数

平面波分解

要对线性偏微分方程

求解，其中 L 是 R 上的一个微分算子，可以先取得基本解，即对以下方程求解：

当 L 相对简单的时候，通常直接利用傅里叶变换就可以求解（如上文提到的泊松核和热核）。如果算子比较复杂，可以先考虑更简单的方程

其中 h 是一个平面波函数，意思是对于某矢量ξ，有

这样的方程可以用柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理求解（如果 L 的系数是解析函数），或者用求积法求解（如果 L 的系数是常数）。所以，如果 δ 函数能够分解成平面波的话，理论上就能取得线性偏微分方程的解。

对 δ 函数进行平面波分解的方法，最早是约翰·拉东（Johann Radon）所发展的一套通用技巧之一，之后由弗瑞兹·约翰进一步发展至这种形式（1955）。 选择 k ，使得 n + k 是一个偶整数；对于实数 s ，定义

要取得 δ ，对 g ( x · ξ ) 相对球体测度dω积分，再对积分施用拉普拉斯算子的幂，其中 ξ 属于单位球面 S ：

此处的拉普拉斯算子理解为弱导数，所以上式的意思是，对于任何测试函数 φ ，

这一结果来自牛顿位势公式（牛顿位势是泊松方程的基本解）。这实际上是拉东变换的逆转公式，因为它能够从 φ ( x )在超曲面上的积分取回 φ ( x )的值。例如，若 n 是奇数，而 k = 1 ，则右边的积分等于

其中 Rφ ( ξ , p ) 是 φ 的拉动变换：

平面波分解的另一个等价表达式是（Gelfand & Shilov 1966–1968，I, §3.10）

对于偶数 n ，且

对于奇数 n 。

傅里叶核

在对傅里叶级数的研究当中，一个重要的问题是须要判断，和某周期函数相关的傅里叶级数是否收敛到该函数，以及从何种意义上收敛。周期为2π的函数 f 的傅里叶级数的第 n 部分和，定义是与狄利克雷核在区间[−π,π]上的卷积：

因此

其中

傅里叶级数的一个基础结果说明，当 N → ∞ ，狄利克雷核趋向于 δ 函数的倍数。收敛指的是从分布意义上的收敛，即

对于一切紧支撑光滑函数 f 。从而，在区间[−π,π]上有

尽管如此，但这并不对所有紧支撑连续函数成立，换言之， D N 从测度意义上并不弱收敛。鉴于傅里叶级数无法收敛，因此数学家建立了各种可和性方法来达到收敛。从切萨罗求和法发展出费耶核

费耶核从一种更强的意义向 δ 函数收敛：

对于一切紧支撑连续函数 f 。结果是，所有连续函数的傅里叶级数在每一点上都是切萨罗可和的，且和的值等于该函数的值。

希尔伯特空间理论

狄拉克 δ 分布是在包含所有平方可积函数的希尔伯特空间L 2上所稠密定义的一个无界线性泛函。紧支撑光滑函数在 L 中是一个稠密集，且 δ 分布对于紧支撑光滑函数有良好定义。在许多应用中，可以对 L 的某个子空间赋予更强的拓扑，使得 δ 函数能够定义一个有界线性算子。

索伯列夫嵌入定理应用在实数线 R 上的索伯列夫空间上时，意味着任何平方可积函数 f ，只要满足

就必定是连续的，而且满足

从而 δ 是一个在索伯列夫空间 H 上的有界线性泛函。另一个等价的说法是， δ 是 H 的连续对偶空间 H 的元素。更一般地说，在 n 维中，有 δ ∈ H ( R ) ，条件是 s > n / 2 。

全纯函数空间

在复分析中， δ 函数出现在柯西积分公式中，公式说明，若 D 是复平面上一个具有光滑边缘的域，则

对于一切在 D 的闭包内连续的全纯函数。从而，对于此类全纯函数， δ 函数 δ z 可以以柯西积分表示：

更一般地来说，设 H (∂ D )是一个哈代空间，它是所有在 D 中直到 D 的边缘都是连续的全纯函数，在 L (∂ D )中的凸包。 H (∂ D )中的函数可以唯一地延续成 D 上的全纯函数，而且柯西积分公式仍然成立。特别是对于 z ∈ D ， δ 函数 δ z 是一个 H (∂ D )上的连续线性泛函。这是多复数变量函数中的特殊情况：对于光滑域 D ，Szegő核代替了柯西积分的角色。

单位分解

在可分希尔伯特空间中，给定一个由函数{ φ n }组成的标准正交基（如一个紧自伴算子的归一化特征矢量），那么任何矢量 f 都可以表达成：

系数{α n }可以如下得出：

也可以写为

这是狄拉克符号的一种。 在这种写法下， f 以并矢方式展开：

设 I 是该希尔伯特空间上的恒等算子，则表达式

称为单位分解。当希尔伯特空间是 L ( D )，包含所有在域 D 上的平方可积函数，那么

就是一个积分算子，而 f 可以重新表达为：

右边的级数是在 L 当中向 f 收敛。就算 f 是连续函数，点收敛极限也不一定存在。尽管如此，往往可以滥用符号，写

如此来表示 δ 函数：

在适当的 装备希尔伯特空间 （ 英语 ： Rigged Hilbert space ） (Φ, L ( D ), Φ*) 中，其中 Φ ⊂ L ( D ) 包含所有紧支撑光滑函数，视乎基 φ n 的性质，上方的级数有可能在Φ*中收敛。在大多数实际情况下，标准正交基来自于某个积分或微分算子，这时候级数会从分布的意义上收敛。

无限小 δ 函数

1827年柯西在若干论文中写下无限高、无限窄的函数时，用到了一个无限小数 α ，使得函数 δ α 满足

∫ ∫ --> F ( x ) δ δ --> α α --> ( x ) = F ( 0 ) . {\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0).}

他（以及拉扎尔·卡诺）把无限小数定义为一个趋向于零的序列。

非标准分析能够严谨地处理无限小数。利用超实数的语言，狄拉克 δ 函数可以用含有无限小数的延伸实数来表达，详见Yamashita (2007)论文所列出的相关书目。这样定义的 δ 函数是真正意义上的函数，使得对于每个实函数 F ，都有

∫ ∫ --> F ( x ) δ δ --> α α --> ( x ) = F ( 0 ) , {\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0),}

结果与傅里叶和柯西用别的语言所表达的一样。

狄拉克梳子

狄拉克梳子是无限个相距 T 的 δ 函数

由一系列狄拉克测度组成的均匀脉冲串叫做 狄拉克梳子 （ 英语 ： Dirac comb ） ，亦称Shah分布，是一个采样函数，常用在数字信号处理和离散时间信号分析中。狄拉克梳子是许多单个 δ 函数的无限和，和的极限是分布意义上的极限：

这可以理解为，在每个整数处都有一个单位质点。

狄拉克梳子是其自身的傅里叶变换（或乘以某个归一常数）。其重要性在于，若 f 是速降函数，则 f 在周期化后的结果以以下卷积表示：

特别有，

这正是泊松求和公式。

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理是量子力学中重要的定理，它把 δ 函数和分布p.v.1/ x 联系起来，后者是函数1/ x 的柯西主值，定义是

索霍茨基公式说明，

此处的极限是分布意义上的极限，就是说对于一切紧支撑光滑函数 f ，

与克罗内克 δ 函数的关系

克罗内克 δ 函数 δ ij 的定义是，

对于所有整数 i 、 j 。它满足以下的筛选性质：若 ( a i ) i ∈ ∈ --> Z {\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }} 是一个两头无限的序列，则

这和狄拉克 δ 函数的筛选性质十分相似：对于任何 R 上的实函数或复函数 f ，有

也就是说，克罗内克 δ 函数可以看作是与狄拉克 δ 函数对应的离散函数。

应用

概率论

在概率论和统计学中，狄拉克函数往往以概率密度函数的身份，来代表一个离散分布或部分离散、部分连续的分布（概率密度函数一般只用作描述完全连续分布）。例如，设一组点 x = { x 1 , ..., x n }，对应概率为 p 1 , ..., p n ；由这些点所组成的离散分布的概率密度函数可以写作

又举一例，设一个分布，其中十分之六的情况下输出标准正态分布，而十分之四的情况下输出单个数值3.5，这是一个部分连续、部分离散的混合分布。其密度函数是

也可以以完全不同的方法，用 δ 函数表示扩散过程（如布朗运动）中的 局部时 （ 英语 ： Local time (mathematics) ） 。一个随机过程的局部时的表达式为

这代表了该过程在某特定区间内，在点 x 所花的时间。更准确地说，当只有一个维度时，上面的积分可以写成

其中 1 [ x − ε , x + ε ] 是区间 [ x − ε , x + ε ] 的指示函数。

量子力学

以下举一个例子，展示 δ 函数如何在量子力学中派上用场。一个粒子的波函数所给出的，是粒子出现在特定空间范围内的概率幅。波函数假定属于希尔伯特空间 L （平方可积函数空间），且粒子在某空间范围内出现的总概率，等于波函数的绝对值平方在该范围内的积分。一组波函数{ φ n }叫做标准正交，如果

其中 δ 指的是克罗内克 δ 函数，而不是狄拉克 δ 函数。一组标准正交波函数叫做在平方可积函数空间中完备，如果任何波函数 ψ 都可以表达为一些 φ n 的线性组合：

其中 c n = ⟨ ⟨ --> φ φ --> n | ψ ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle c_{n}=\langle \varphi _{n}|\psi \rangle } 。量子力学中的哈密顿算符量度的是（丛缚态的）能级，而算符的所有本征函数正正就组成了波函数完备标准正交系统，每个本征函数所对应的特征值等于能量值。这组能量值叫做这个哈密尔顿算符的光谱。利用狄拉克符号（如上），上式所表达的就是单位分解：

此处，特征值都是离散的，但一个可观察量的特征值也可以是连续的，就如位置算符 Qψ ( x ) = xψ ( x ) 。位置（在一维当中）的光谱是整条实数线，所以称作连续光谱。不过，和哈密顿算符不同的是，位置算符并没有正式的本征函数。为了解决这一困局，通常会扩大所允许使用的函数，从普通的函数到所有分布。换言之，量子力学的希尔伯特空间要由合适的 装备希尔伯特空间 （ 英语 ： Rigged Hilbert space ） 取代。 这样一来，位置算符就有了一套完备的本征分布，对应于实数线上的每个点 y ：

位置的本征函数（分布）用狄拉克符号记作 φ φ --> y = | y ⟩ ⟩ --> {\displaystyle \varphi _{y}=|y\rangle } ，亦称为位置本征态。

这种处理方法同样可以应用于动量算符，以及一切希尔伯特空间上的自伴无界算子 P ，前提是 P 具有连续光谱，且不存在退化特征值。更确切地说，有一个实数的子集Ω（即算子的光谱）和一组分布 φ y ，对应于Ω的每个元素 y ，使得

也就是说， φ y 是 P 的特征矢量（本征分布）。如果这些特征矢量（作为分布）都满足归一化条件：

那么对于一切测试函数ψ，就有

其中

此处所得出的单位分解和离散的情况比较，有相似之处：

其中以算子为值的积分同样理解为弱积分。若 P 的光谱同时含有连续和离散部分，则它的单位分解须包含跑遍所有离散态的和，再加上跑遍所有连续态的积分。

δ 函数在量子力学中还有众多特殊应用，例如δ 位势阱。

结构力学

在结构力学中， δ 函数可以用来描述结构上的瞬时荷载或点荷载。一个谐振子在 t =0时突然受到冲量为 I 的力的冲击，其演变可以如下描述：

其中 m 是质量，ξ是挠度，而 k 是弹簧常数。

根据欧拉﹣伯努力理论，一条细长的梁的静力负荷挠度是

其中 EI 是梁的弯曲刚度， w 是挠度， x 是空间坐标，而 q ( x )则是负荷分布。如果栋梁在 x = x 0 处受到点力 F 的负荷，那么负荷分布可以写作

由于 δ 函数的积分是亥维赛阶跃函数，因此细长栋梁在多个点受到点力负荷时的静力负荷挠度，可以用一组分段多项式来表示。

δ 函数还可以描述作用在一条梁上的点 弯矩 （ 英语 ： Bending moment ） 。设两个相距 d 的相反方向的点力 F ，它们在栋梁上所产生的弯矩为 M = Fd 。在保持 M 不变的情况下，使 d 趋向于零。假设所产生的弯矩位于 x = 0，方向是顺时针，那么对栋梁的负荷分布就是

因此点弯矩可以用 δ 函数的导数来描述。对栋梁方程积分，得出的挠度一样是分段多项式。

参见

δ 位势阱

格林函数

脚注

注释

^ 参见：Des intégrales doubles qui se présentent sous une forme indéterminèe

^ 详尽历史请见：van der Pol & Bremmer 1987，§V.4。

^Driggers 2003，第2321页及Bracewell 1986，Chapter 5呈现另一种解释。不同惯例会对亥维赛阶跃函数在0指定不同的值，其中某些惯例与本文不符。

^ 另见：Courant & Hilbert 1962，§14

^ 用Lang (1997)的方法表达，费耶核是一种狄拉克序列，而狄利克雷核则不是。

^ 要以狄拉克符号来表达这一节的内容，可见Levin 2002，Coordinate-space wave functions and completeness, pp.=109 ff

^ 参见：Laugwitz 1989

引注

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