微分方程

记号及例子方程式中常以u为未知数及偏微分，如下：用于空间偏微分的梯度运算子∇∇-->=(∂∂-->∂∂-->x,∂∂-->∂∂-->y,∂∂-->∂∂-->z){\displaystyle\nabla=({\partial\over\partial_{x}},{\partial\over\partial_{y}},{\partial\over\partial_{z}})}时间偏微分u˙˙-->=∂∂-->u∂∂-->t{\displaystyle{\dot{u}}={\partialu\over\partialt}}，线性偏微分方程式的例子如下：拉普拉斯方程适用于重力场问题的求解泊松方程适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。波动方程式未知函数u(x,y,z,t):热传导方程式其中k代表该材料分类一些线性二阶偏微分方程可以分为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程。其他的像Euler–Trico...

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分类微分方程可分为以下几类，而随着微分方程种类的不同，其相关研究的方式也会随之不同。常微分方程及偏微分方程常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：偏微分方程（PDE）是指一微分方程的未知数是多个自变数的函数，且方程式中有未知数对自变数的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变数的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。像以下的方程就是偏微分方程：线性及非线性常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。若微分方程中没有出现自变数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现应变数...

例子连续时滞微分方程离散时滞微分方程离散时滞线性方程集电弓方程时滞微分方程求解时滞微分方程通常用分步的方法求解.例如考虑如下具有单一时滞的时滞微分方程及初始条件ϕϕ-->:[−−-->ττ-->,0]→→-->Rn{\displaystyle\phi:[-\tau,0]\rightarrowR^{n}}.那么在区间[0,ττ-->]{\displaystyle[0,\tau]}上的解ψψ-->(t){\displaystyle初值问题i(t)}就是以下非齐次初值问题的解且ψψ-->(0)=ϕϕ-->(0){\displaystyle\psi(0)=\phi(0)}.这样就可以利用前面区间的解作为非齐次项一步步求得整个区间上的解.在实际的计算中,初值问题通常采用数值计算.例子假设f(x(t),x(t−−-->ττ-->))=ax(t−−-->ττ-->){\displaystylef(x(t...

精确解总结一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。在下表中，P(x),Q(x),P(y),Q(y),和M(x,y),N(x,y)是任何x,y的可积（英语：Integrable）函数，b,c是给定的实常数，C1,C2,...是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。在积分解中，λ和ε是积分变量（求和下标的连续形式），记号∫F(λ)dλ只表示F(λ)对λ积分，在积分以后λ=x替换，无需加常数（明确说明）。参见微分方程偏微分方程