正交晶系

各种正交概念正交子空间若内积空间中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若内积空间中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。正交变换正交变换T:V→→-->V{\displaystyleT:V\rightarrowV}是保持内积的线性变换。即是说，对两个向量，它们的内积等于它们在函数T下的内积：这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。欧几里得空间的例子在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面。正交函数集对于两个函数f和g，可以定义如下的内积：这里引进一个非负的权函数w...

晶系的特征与细分关系表晶系、晶族的特征一般用：点群、空间群、晶格（布拉菲晶格）来标示。参考资料CornelisKlein,BarbaraDutrow,2007.ManualofMineralScience,23rdEdition

实数域上的正交群实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。实正交群和特殊正交群有如下的解释：O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是R的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面(n=3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。SO(n,R)是E(n)的子群，E(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。{I,−I}是O(n,R)的正规子群并是特征子群；如果n是偶数，对SO(n,R)也对。如果n是奇数，O(n,R)是SO(n,R)和{I,−I}的直积。k重旋转循环群Ck对任何正整数k都是O(2,...

分类参见晶体结构

概述正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是vv。如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度，则所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n×n正交矩阵形成了一个群，即指示为O（n）的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群是O（3）的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字数值线性代数中很多算法比如QR分解的关键，通过适当的规范化，离...