各种正交概念

正交子空间

若内积空间中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若内积空间中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。

正交变换

正交变换T:V→ → -->V{\displaystyle T:V\rightarrow V}是保持内积的线性变换。即是说，对两个向量，它们的内积等于它们在函数T下的内积：

这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。

欧几里得空间的例子

在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面。

正交函数集

对于两个函数f 和g，可以定义如下的内积：

这里引进一个非负的权函数w(x){\displaystyle w(x)}。这个内积叫做带权w(x){\displaystyle w(x)}的内积。

两个函数带权w(x){\displaystyle w(x)}正交，是指它们带权w(x){\displaystyle w(x)}的内积为零。

由此可以类似定义带权w(x){\displaystyle w(x)}的模。

一个函数列{ fi : i = 1, 2, 3, ... }如果满足：

其中

为克罗内克函数， 那么{ fi}就称为带权w(x){\displaystyle w(x)}的正交函数族。

进一步地，如果{ fi}满足：

就称{ fi}为带权w(x){\displaystyle w(x)}的标准正交函数族。

参见正交多项式。

参看

正交化

正交分解

正交矩阵

正交基

垂直

外部链接

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