实数域上的正交群

实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2维实紧李群。O(n,R)有两个连通分支，SO(n,R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群，E(n)是R的等距群；O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面(n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群。

SO(n,R)是E(n)的子群，E(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群；如果n是偶数，对SO(n,R)也对。如果n是奇数，O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积。k重旋转循环群Ck对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。

取合适的正交基，等距是

的形式。这里矩阵R1,...,Rk是2×2旋转矩阵。

圆的对称群是O(2,R)，也称为Dih(S)，这里S是模长1复数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆S（圆群）。这个同构将复数exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵

群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式

在代数拓扑方面，对n > 2，SO(n,基本群基本群是2阶循环，而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠）

李群O(n,R)和SO(n,R的李代数由斜对称实n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R)或so(n,R)。

保持原点的3维同构

保持R原点不动的同构，组成群O(3,R)，能分成如下几类：

SO(3,R):

以上与关于原点的点反演（x映到−x）复合，分别为：

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转（improper rotation）。类似的参见欧几里得群。

共形群

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。R的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积：CO⁡ ⁡ -->(2n+1)=O⁡ ⁡ -->(2n+1)× × -->R{\displaystyle \operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} }；如果n是偶数，两个子群的交是± ± -->1{\displaystyle \pm 1}，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：CO⁡ ⁡ -->(2n)=O⁡ ⁡ -->(2n)× × -->R+{\displaystyle \operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}。

我们可以类似地定义CSO(n)，这时总有CSO⁡ ⁡ -->(n):=CO⁡ ⁡ -->(n)∩ ∩ -->GL+⁡ ⁡ -->(n)=SO⁡ ⁡ -->(n)× × -->R+{\displaystyle \operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}。

复数域上正交群

复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群，这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。

和实情形一样，SO(n,C)不是单连通的，对n > 2 SO(n,C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。

O(n,C)和SO(n,C)的复李代数由斜对称复n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。

拓扑

低维数

低维实正交群是熟悉的空间：

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

同伦群

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

Sn{\displaystyle S^{n}}是O(n+1){\displaystyle O(n+1)}的齐性空间，从而有如下纤维丛：

可以理解为：正交群O(n+1){\displaystyle O(n+1)}传递地作用于单位球面Sn{\displaystyle S^{n}}上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射O(n)→ → -->O(n+1){\displaystyle O(n)\to O(n+1)}是自然包含。

从而包含O(n)→ → -->O(n+1){\displaystyle O(n)\to O(n+1)}是(n-1) -连通的，故同伦群稳定，对n>k+1{\displaystyle n>k+1}有π π -->k(O)=π π -->k(O(n)){\displaystyle \pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))}，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理，Ω Ω -->8O≃ ≃ -->O{\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O}，从而O的同伦群以8为周期，即 π π -->k+8O=π π -->kO{\displaystyle \pi _{k+8}O=\pi _{k}O}，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

和KO-理论的关系

通过cluching construction，稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：π π -->kO=π π -->k+1BO{\displaystyle \pi _{k}O=\pi _{k+1}BO}。

设KO=BO× × -->Z=Ω Ω -->− − -->1O× × -->Z{\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} }（使得π π -->0{\displaystyle \pi _{0}}满足周期性），我们得到：

同伦群的计算和解释

低维群

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

π π -->0(O)=π π -->0(O(1))=Z/2{\displaystyle \pi _{0}(O)=\pi _{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2}保持/反定向（这个类存留到O(2){\displaystyle O(2)}从而稳定）

SO(3)=RP3=S3/(Z/2){\displaystyle SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)}得出：

π π -->1(O)=π π -->1(SO(3))=Z/2{\displaystyle \pi _{1}(O)=\pi _{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2}即自旋群

π π -->2(O)=π π -->2(SO(3))=0{\displaystyle \pi _{2}(O)=\pi _{2}(SO(3))=0}，有到π π -->2(SO(4)){\displaystyle \pi _{2}(SO(4))}的满射，从而后一个群消失。

李群

由李群一般实，π π -->2G{\displaystyle \pi _{2}G}总消失，π π -->3G{\displaystyle \pi _自由阿贝尔群自由阿贝尔群。

向量丛

从向量丛的观点来看，π π -->0(KO){\displaystyle \pi _{0}(KO)}是S0{\displaystyle S^{0}}上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以

环路空间

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用π π -->0{\displaystyle \pi _{0}}、O，以及O/U有两个分支，KO=BO× × -->Z{\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} }和KSp=BSp× × -->Z{\displaystyle KSp=BSp\times \mathbf {Z} }有Z{\displaystyle \mathbf {Z} }个分支，其实是连通的。

同伦群的解释

一小部分结论：

π π -->0(KO)=Z{\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }是维数

π π -->1(KO)=Z/2{\displaystyle \pi _{1}(KO)=\mathbf {Z} /2}是定向

π π -->2(KO)=Z/2{\displaystyle \pi _{2}(KO)=\mathbf {Z} /2}是自旋

π π -->4(KO)=Z{\displaystyle \pi _{4}(KO)=\mathbf {Z} }是拓扑量子场理论

令F=R,C,H,O{\displaystyle F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} }，以及LF{\displaystyle L_{F}}为射影线FP1{\displaystyle \mathbf {FP} ^{1}}上的重复线丛，[LF]{\displaystyle [L_{F}]}是其K-理论。注意到RP1=S1,CP1=S2,HP1=S4,OP1=S8{\displaystyle \mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}}，这些得出相应球面上的向量丛，以及：

π π -->1(KO){\displaystyle \pi _{1}(KO)}由[LR]{\displaystyle [L_{\mathbf {R} }]}生成

π π -->2(KO){\displaystyle \pi _{2}(KO)}由[LC]{\displaystyle [L_{\mathbf {C} }]}生成

π π -->4(KO){\displaystyle \pi _{4}(KO)}由[LH]{\displaystyle [L_{\mathbf {H} }]}生成

π π -->8(KO){\displaystyle \pi _{8}(KO)}由[LO]{\displaystyle [L_{\mathbf {O} }]}生成

有限群上的正交群

正交群也能定义在有限域Fq{\displaystyle \mathbf {F} _{q}}上，这里q{\displaystyle q}是一个素数p{\displaystyle p}的幂。在这样的域上定义正交群，偶数维时有两类：O+(2n,q){\displaystyle O^{+}(2n,q)}和O− − -->(2n,q){\displaystyle O^{-}(2n,q)}；奇数维有一类：O(2n+1,q){\displaystyle O(2n+1,q)}。

如果V{\displaystyle V}是正交群G{\displaystyle G}作用的向量空间，它可以写成正交直和：

这里Li{\displaystyle L_{i}}是双曲线而W{\displaystyle W}不包含奇异向量。如果W=0{\displaystyle W=0}，那么G{\displaystyle G}是正类型；若W={\displaystyle W=}那么G{\displaystyle G}有偶维数；若W{\displaystyle W}有维数2，则G{\displaystyle G}是负类型。

在n = 1的特例，Oϵ ϵ -->(2,q){\displaystyle O^{\epsilon }(2,q)}是阶为2(q− − -->ϵ ϵ -->){\displaystyle 2(q-\epsilon )}的二面体群。

当特征大于2时，记O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·A=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式

如果− − -->1{\displaystyle -1}是Fq{\displaystyle \mathbf {F} _{q}}中的平方元素

迪克森不变量

对偶数维正交群，迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

特征2域上正交群

特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同：

任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是两个元素的域上的维特指标为2的4维向量空间（Grove 2002，Theorem 6.6 and 14.16）。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域，垂直于一个向量u的反射将v映为v+B(v,u)/Q(u)·u，这里B是一个双线性形式，Q是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是将v映到v-2·B(v,u)/Q(u)·u，当奇特征和零特征时与比较两者不同。

特征2时正交群的中心总是1阶，而不是2阶。

在特征2的奇维数2n+1时，完全域上的正交群和2n维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的，而维数为奇数故总有一个1维的核，模去核的商是一个2n维辛空间，正交群作用在它上面。

在特征2的偶维数，正交群是辛群的一个子群，因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。

旋量模

旋量模是一个从域F上正交群到域F的乘法群模去平方元素

的同态，将关于模长为n向量的反射映到F/F中的n。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

伽罗瓦上同调和正交群

代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系； 但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

这里μ2是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从H（就是取值于F中点的群OV(F)）到H(μ2)的连接同态本质上是spinor模，因为 H(μ2)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的H到自旋群覆叠的核的H也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

重要子群

物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：

正交群O(n)也是一些李群的重要子群：

群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

另见

旋转群, SO(3,R)

SO(8)

广义正交群

酉群

辛群

有限单群列表

单李群列表

参考文献

Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3,MR1859189 

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