数学的点－历史

在亚里斯多德的著作《论天体》第三册中，已经提到数学中的点是没有大小的 ，他依此来驳斥柏拉图将数学的几何形视为物理实体的构成要素 （参见正多面体），并强调这与数学思想相违背 ：“数学的平面没有厚度，所以不能构造物理实体。”他论述说，如果数学平面有厚度，那么数学的线就要有宽度才能够构成平面，而数学的点必须有大小才能构成线，但是在数学中已经明确定义数学的点是没有大小的，因此柏拉图的理论与数学相抵触。从这里，亚里斯多德陈述说，一个几何物件只能分割成相同型态的几何物件（而不会变成其它的东西）：平面只能分割成平面，而不能分割成线；线只能分割成线，不能分割成点；这样的分割可以无限的进行，而不是像原子论者所说的，最后分割到原子（或是基本构成要素）就停止了。

因此，早在欧几里得的《几何原本》之前，数学中的点只用来标示位置的用法已经是共识。亚里斯多德提到点的时候，用的字是 στιγμὰς，是可见的点（spot），而欧几里得则（小心翼翼的）采用另一个字 σημεῖόν，原意是“标示”（sign）：

这句话的意思是：“点是没有部分（μέρος）的东西”。点没有部分，所以也就没有大小 。这个论点来源自亚里斯多德的“部分－整体”理论（part–whole theory）：

《几何原本》的阿拉伯文版，将 σημεῖόν 翻译为 نقطة ，意思回到亚里斯多德的可见点 ；拉丁文版则将 σημεῖόν 翻译为 punctum ，意思是被尖物刺成的小洞。

欧几里得几何中的点

二维欧式空间中的有限点集(蓝色).

在欧几里得几何中， 点 是空间中只有位置，没有大小的图形。点是整个欧几里得几何学的基础，后者是研究点，线，面，体的一种科学。欧几里得最初含糊的定义点作为"没有部分的东西". 在二维欧式空间, 一个点被表示为一个有序对 ( x , y ) {\displaystyle \,(x,y)} , 其中第一个数字习惯上表示水平位置,通常记为 x {\displaystyle \,x} , 第二个数字习惯上表示竖直位置, 通常记为 y {\displaystyle \,y} . 这一思想很容易广到三维情况, 此时一个点被表示为一个有序三元组, ( x , y , z ) {\displaystyle \,(x,y,z)} , 第三个数字表示高度, 通常记为 z。更加一般的情况下，点被表示为一个有序 n 元组： ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})} 其中 n 为点所在的空间的维度.

在现代数学语言中，任何集合的元素都叫作“点”，但与三维空间中的点可以没有任何关系。

其他数学分支中的点

在点集拓扑中的点, 定义为一个拓扑空间中的集合的元素.

尽管点被看做是主要的几何学和拓扑学中的基本概念, 但是有些几何和拓扑理论并不需要点的概念. 例如非交换几何和非点集拓扑. 一个"非点空间"不是作为一个集合来定义的, 而是通过某种类似于几何上的函数空间的结构(代数上的或者逻辑上的): 连续函数代数或者集合代数.

算术中的点

1点（Basis Point）的定义为“百分之零点零一”（0.01%）或“一个百分点的一百分之一”，可用算术符号‱表示。它在计算利率、汇率、股票价格等范畴被广泛应用，因为这些范畴须要牵涉极微小百分数的计算。简单来说： 一百点=百分之一（100‱ = 1%） 一万点=百分之一百=一（10000‱ = 100% = 1） 在比较百分数时，除了可以用百分点之外，两个百分数之间细微的差距也可用点子来表达。例如4.02%与4.05%相差0.03个百分点。

互动

http://www.khanacademy.org/cs/program/1342753278

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。