当且仅当

标记

与此相对应的逻辑符号是 ↔ ↔ --> {\displaystyle \leftrightarrow } 和 ⇔ ⇔ --> {\displaystyle \Leftrightarrow } 。这两个通常被当作是相等的。但是，一些数学教科书，特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表推理些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。

证明

设A与B为两命题，在证明“A当且仅当B”时，这相当于去同时证明陈述“如果A成立，则B成立”和“如果B成立，则A成立”。另外，也可以证明“如果A成立，则B成立”和“如果A不成立，则B不成立”，后者作为对偶，等价于“如果B成立，则A成立”。

有关英语缩写Iff的开端

在出版物中，英语 Iff 的表示标记最早出现在约翰·L·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用 。

“当”与“当且仅当”

简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：

当 冰淇淋是香草口味的，小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王会吃这个冰淇淋。）

当且仅当 冰淇淋是香草口味，小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王会吃这个冰淇淋；并且，如果小王吃冰淇淋，那么这个冰淇淋就是香草口味的。）

第1句只是说小王会吃香草口味的冰淇淋。但是这并没有排除他还会吃香草以外口味冰淇淋的可能性。可能他会吃，可能不会。这个句子并没有告诉我们。我们所能够肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。

但是第2句阐述的非常明确，就是小王会吃 并且只吃香草口味的 。他不会吃任何其它口味的冰淇淋。

进一步的思考

用“当且仅当”连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。

双条件句“‘A’当且仅当‘B’”，是用“A”和“B”来陈述A和B所描述的事件状况之间的关系。

相对照的，“‘A’逻辑等价于‘B’”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。

这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“A”逻辑等价于“B”的时候，“A”当且仅当“B”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：

小王今天要吃冰淇淋当且仅当它是香草口味的。

很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。如想了解更多的差异，请参照W. V. Quine的《数理逻辑，第5节》。

在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”， 如果 通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：

一个人是单身男性当且仅当他是一个未婚的而且是可结婚的男人。

x+1=2当且仅当x=1。

对于任意的 A , B , 和 C ：( A & B ) & C 当且仅当 A & ( B & C )。（因为这句句子是用变量和&的形式来写得，陈述也通常会使用“ ↔ ↔ --> {\displaystyle \leftrightarrow } ”，或者其它用来写双条件句的符号，来代替“当且仅当”）

更一般的用法

“当且仅当”在逻辑领域以外，如同在数学出版物或者普通的谈话中都会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。（即使如此，相比起“当且仅当”，“如果”一般多出现在定义的陈述中。）

参见

充分及必要条件

等价关系

等价符号

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