历史

变分法可能是从约翰·伯努利（1696）提出最速曲线（brachistochrone curve）问题开始出现的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必达（Marquis de l"Hôpital）的注意。但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。欧拉对这个理论的贡献非常大。Legendre（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由Cauchy（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900发表的第20和23个希尔伯特（Hilbert）促进了更深远的发展，在20世纪David Hilbert、Emmy Noether、Leonida Tonelli、Henri Lebesgue和Jacques Hadamard等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在Morse理论中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法理想控制论发展了新的数学工具。

欧拉-拉格朗日方程

在理想情形下，一函数的极大值及极小值会出现在其导数为0的地方。同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点(x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})}和(x2,y2){\displaystyle (x_{2},y_{2})}最短曲线的例子，说明求解的过程。曲线的长度为

其中

函数f至少需为一阶可微的函数。若f0{\displaystyle f_{0}}是一个局部最小值，而f1{\displaystyle f_{1}}是一个在端点x1{\displaystyle x_{1}}及x2{\displaystyle x_{2}}取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子

其中ε为任意接近0的数字。

因此A[f0+ϵ ϵ -->f1]{\displaystyle A[f_{0}+\epsilon f_{1}]}对ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon }的导数（A的一阶导数）在ϵ ϵ -->=0{\displaystyle \epsilon =0}时必为0：

ddϵ ϵ -->∫ ∫ -->x1x21+[f0′(x)+ϵ ϵ -->f1′(x)]2dx|ϵ ϵ -->=0=∫ ∫ -->x1x2(f0′(x)+ϵ ϵ -->f1′(x))f1′(x)1+[f0′(x)+ϵ ϵ -->f1′(x)]2|ϵ ϵ -->=0dx=∫ ∫ -->x1x2f0′(x)f1′(x)1+[f0′(x)]2dx=0{\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\sqrt {1+[f_{0}"(x)+\epsilon f_{1}"(x)]^{2}}}dx\right|_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {(f_{0}"(x)+\epsilon f_{1}"(x))f_{1}"(x)}{\sqrt {1+[f_{0}"(x)+\epsilon f_{1}"(x)]^{2}}}}\right|_{\epsilon =0}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {f_{0}"(x)f_{1}"(x)}{\sqrt {1+[f_{0}"(x)]^{2}}}}\,dx=0}

此条件可视为在可微分函数的空间中，A[f0]{\displaystyle A[f_{0}]}在各方向的导数均为0。若假设f0{\displaystyle f_{0}}二阶可微（或至少弱微分存在），则利用分部积分法可得

其中f1{\displaystyle f_{1}}为在两端点皆为0的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例：

其中f1{\displaystyle f_{1}}为在两端点皆为0的任意可微函数。

若存在x=x^ ^ -->{\displaystyle x={\hat {x}}}使H(x)>0{\displaystyle H(x)>0}，则在x^ ^ -->{\displaystyle {\hat {x}}}周围有一区间的H也是正值。可以选择f1{\displaystyle f_{1}}在此区间外为0，在此区间内为非负值，因此I>0{\displaystyle I>0}，和前提不合。若存在x=x^ ^ -->{\displaystyle x={\hat {x}}}使H(x)<0{\displaystyle H(x)<0}，也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论：

由结论可推得下式：

因此两点间最短曲线为一直线。

在一般情形下，则需考虑以下的计算式

其中f需有二阶连续的导函数。在这种情形下，拉格朗日量L在极值f0{\displaystyle f_{0}}处满足欧拉-拉格朗日方程

不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。

费马原理

费马原理指出：光会沿着两端点之间所需光程最短的路径前进。假设y=f(x){\displaystyle \!y=f(x)}为光的路径，则光程可以下式表示：

其中折射率n(x,y){\displaystyle \!n(x,y)}依材料特性而定。

若选择f(x)=f0(x)+ϵ ϵ -->f1(x){\displaystyle \!f(x)=f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x)}，则A的一阶导数（A对ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon }的微分）为：

将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程

光线的路径可由上述的积分式而得。

斯涅尔定律

当光进入或离开透镜面时，折射率会有不连续的变化。考虑

其中　n− − -->{\displaystyle n_{-}}和n+{\displaystyle n_{+}}是常数。在x0的区域，欧拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因为折射率在二个区域均为定值，在二个区域光都以直线前进。而在x=0的位置，f必须连续，不过f" 可以不连续。在上述二个区域用分部积分的方式解欧拉-拉格朗日方程，则其变分量为

和n− − -->{\displaystyle n_{-}}相乘的系数是入射角的正弦值，和n+{\displaystyle n_{+}}相乘的系数则是折射角的正弦值。若依照斯涅尔定律，上述二项的乘积相等，因此上述的变分量为0。因此斯涅尔定律所得的路径也就是要求光程一阶变分量为0的路径。

费马原理在三维下的形式

费马原理可以用向量的形式表示：令X=(x1,x2,x3){\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3})}，而t为其参数, X(t){\displaystyle X(t)}是曲线C参数化的表示，而令X˙ ˙ -->(t){\displaystyle {\dot {X}}(t)法线其法线向量。因此在曲线上的光程长为

上述积分和t无关，因此也和C的参数表示方式无关。使曲线最短的欧拉-拉格朗日方程有以下的对称形式

其中

依P的定义可得下式

因此上述积分可改为下式

依照上式，若可以找到一个梯度P的函数ψ，则以上的积分A就可以由在积分端点上ψ的差求得。以上求解曲线使积分量不变的问题就和ψ的level surface有关。为了要找到满足此条件的函数ψ，需要对控制光线传动的波动方程式进行进一步的研究。

和波动方程的关系

最优控制的理论是变分法的一个推广

参看

等周不等式

变分原理

费马原理

最小作用量原理

无穷维优化

泛函分析

微扰法

参考

Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000

Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98

Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987

Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960

Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992

Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974

Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968

Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

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