弗莱纳公式

平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。

记 r (t) 为欧式空间 R 中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗莱纳公式只适用于正则曲线，即速度向量 r ′(t)和加速度向量 r ′′(t)不为零的曲线。

记 s(t) 为 t 时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：

由于假设 r ′ ≠ 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r (s) = r ( t ( s ))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r ( s )， 弗莱纳标架 (或 弗莱纳基底 )定义如下：

单位切向量 T ：

主法向量 N ：

副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：

螺旋线上弗莱纳标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑色的箭头表示副法向量。

由于 | T | = 1 , d ( T ⋅ ⋅ --> T ) d s = 2 T ⋅ ⋅ --> N = 0 , {\displaystyle |\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,} 所以 N 与 T 垂直。 方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N ，因此向量 T ， N ， B 互相垂直。

弗莱纳公式如下：

其中 κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。

弗莱纳公式有时也被称作 弗莱纳定理 ，并且可以写做矩阵的形式：

其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

参阅

曲线仿射几何

曲线微分几何

达布标架

运动学

参考资料

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