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正八面体

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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性质顶点数目：6边数目：12面数目：8当边长为a时：表面积：S=23a2{displaystyleS=2{sqrt{3}}a^{2}}体积：V=132a3{displaystyleV={frac{1}{3}}{sqrt{2}}a^{3}}外接球半径：ru=22a{displaystyle

性质

顶点数目：6 边数目：12 面数目：8 当边长为a时：表面积： S = 2 3 a 2 {\displaystyle S=2{\sqrt {3}}a^{2}} 体积： V = 1 3 2 a 3 {\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}} 外接球半径： r u = 2 2 a {\displaystyle r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a} (外接球即过正八面体各顶点的球) 内切球半径： r i = 6 6 a {\displaystyle r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a} （内切球即与正八面体各面相切的球）中交球半径： r m = 1 2 a {\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}a} （中交球即过正八面体各边中点的球）

正八面体共有11种不同的展开图

坐标系

以棱长为√2的正八面体的几何中心作为原点，将正八面体的对角线作为x,y,z轴建立三维直角坐标系（正八面体的3条对角线两两正交，这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因），则我们能将正八面体的顶点坐标记为 ( ±1, 0, 0 ) ( 0, ±1, 0 ) ( 0, 0, ±1 ) 正八面体表面方程为： |x|+|y|+|z|=1 更一般的，如果正八面体的对角线平行于坐标轴，中心为(x 0 ,y 0 ,z 0 )，外接圆半径为r（棱长为(√2)r），则正八面体表面方程为： |x-x 0 |+|y-y 0 |+|z-z 0 |=r 如果中心在原点的正八面体被拉长，成为菱形体，则更一般的八面体方程为 | x x m | + | y y m | + | z z m | = 1 {\displaystyle \left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1} 其内接于椭球体 x 2 x m 2 + y 2 y m 2 + z 2 z m 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{x_{m}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{y_{m}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{z_{m}^{2}}}=1} 表面积S和体积V为： S = 4 x m y m z m × × --> 1 x m 2 + 1 y m 2 + 1 z m 2 {\displaystyle S=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}}} V = 4 3 x m y m z m {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}} 它的惯性张量 I 是：

当 x m = y m = z m = a 2 2 {\displaystyle x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}} 时，菱形体为上述正八面体。

正交投影

正八面体可以以多种不同的方向被正交投影到二维平面，以下表格展示了几种特殊的投影：

对称性和表面涂色

正八面体作为3维的正轴体正多面体，自身拥有较高的对称性，它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使正八面体拥有不同的对称性。正八面体的对称群是O h （正八面体群），是三维的超正八面体群（英语： Hyperoctahedral group ）。在此对称性下，正八面体的所有面都带有相同对“颜色”，对称性最高，群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性：T d （群阶24），截半正四面体的对称群；D 3d （群阶12），三角反棱柱的对称群；D 4h （群阶16），四角双棱锥（正四棱柱的对偶）的对称群；D 2h （群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。

与其他形状的关系

对偶性

正八面体的对偶多面体是立方体。当正八面体在立方体之内：正八面体体积 : 立方体体积 =[(1/3)×高×底面积]×2 : 边 =(1/3)(n/2)[(n )/2]2 : n =1 : 6

其它几何关联

正八面体即是星形八面体两正四面体的交集

两个互为对偶的正四面体可以组成一个复合正多面体，这两个正四面体的交集即是正八面体。这个复合多面体，也叫做星形八面体，是正八面体的第一个也是唯一一个星形展（英Stellation，暂译，目前还没有好的译名）。另一方面，从正四面体各棱中点处截去4个包含原顶点在内的线性大小只有原正四面体一半的正四面体，你也能得到正八面体，也就是说，正八面体是“截半正四面体”。在这里，正四面体与正八面体之间的关系就像立方体、正八面体与截半立方体；正十二面体、正二十面体与截半正十二面体一样。除此以外，我们知道正二十面体还是“扭棱正四面体”，因此，正八面体与其也应该有关系。事实上，我们能够利用黄金分割从正八面体的棱上得到正二十面体的顶点。具体操作是：用有向线段代替这个正八面体的各棱，使每个面的3条有向线段恰好首尾相接，构成一圈。接着顺着每个有向线段的方向将其以黄金比例分割，分割点即是正二十面体的顶点。如果给定一正二十面体，则有5个不同的正八面体都可用上述操作得到给定正二十面体，这5个正八面体又可构成一复合正多面体，即五复合正八面体。

正八面体—正四面体堆砌的一部分

正八面体可以和正四面体一起完成三维空间的密铺，这密铺被叫做正八面体—正四面体堆砌(Octahedral-Tetrahedral Honeycomb)（同时它也是交错立方体堆砌(Alternated Cubic Honeycomb)，亦即半立方体堆砌(Demicubic Honeycomb)），是28个三维半正堆砌之一，是除立方体堆砌以外唯一一个完全由正多面体完成的三维堆砌。正八面体也参与了截半立方体堆砌。正八面体是柏拉图立体中唯一一个在顶点处有偶数个面相交的，也是唯一一个所有对称镜面不穿过任何一面的。以约翰逊多面体的角度来看，正八面体是双四棱锥，将其上下两个顶点截取，即得到双四棱台。正八面体是四连通的，意味着要想打断正八面体6个顶点之间的连接，至少要撤掉4个顶点。它是4个四连通单纯形面全覆盖多面体之一，意味着它所有顶点的极大独立集（英语： maximal independent sets ）都有相同大小。其余3个多面体是约翰逊多面体双五棱锥、变棱双五角锥和一个非半正的有12个顶点和20个正三角形面的多面体。