定义

对给定的两个微分流形M,N{\displaystyle M,N}，若对光滑映射f:M→ → -->N{\displaystyle f:M\to N}，存在光滑映射g:N→ → -->M{\displaystyle g:N\to M}使得f∘ ∘ -->g=idN{\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{N}}、g∘ ∘ -->f=idM{\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{M}}，则称f{\displaystyle f}为微分同胚。此时逆映射g{\displaystyle g}是唯一的。

若在微分流形M,N{\displaystyle M,N}之间存在微分同胚，则称M{\displaystyle M}与N{\displaystyle N}是微分同胚的，通常记为M≃ ≃ -->N{\displaystyle M\simeq N}。

对于Cr{\displaystyle C^{r}}流形，可采同样办法定义Cr{\displaystyle C^{r}}微分同胚之概念。

例子

考虑

此微分同胚可由下述映射给出：

与同胚的关系

对维度≤ ≤ -->3{\displaystyle \leq 3}的流形，同胚明同胚的流形必为微分同胚；换言之，此时流形上的拓扑结构确定了微分结构。在四维以上则存在反例，最早的约翰·米尔诺米尔诺的七维怪球，米尔诺更证明了七维球上恰有28种微分流形结构，它们都可表成某个在S4{\displaystyle S^{4}}上的S3{\displaystyle S^{3}}-丛。在1980西蒙·唐纳森唐纳森与迈克尔·哈特利·弗里德曼的证明在R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}上有不可数个相异的微分结构。

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