写作历史

高斯在1796年就准备写一本数论的著作。一年后，他完成了初稿。1797年11月，高斯开始对初稿进行重写和修订，使之成为可以打印出来的成熟版本。打印工作于1798年4月开始，但由于机器的原因，速度缓慢。然而这也使得高斯有时间补充一些新的内容，特别是第五章的二次互反律的部分：1801年夏季最终出版时的长度已经是初稿时的两倍。

主题

《算术研究》包括了初等数论和现在称为代数数论领域的一部分。然而，高斯在书中并未认识到抽象代数的核心：群的概念，因此没有加以应用。高斯将这本书的主题定位为他所称的“高等算术”。在这本书的序言一开头，高斯明确地说到：

“本书将要研究的问题属于数学中如下的一部分：其考虑的对象只限于整数，偶尔涉及分数，但绝对与无理数无关。”

内容

全书有655页，分为七个部分共335篇文章，由浅入深，从同余理论起步，探讨了同余齐次式、同余方程和二次剩余理论。在二次剩余理论中，高斯在前人的基础上首次给出了二次互反律的证明。其后高斯又得出了双二次互反律和三次互反律，并对所谓的高斯整数进行了研究，得到了代数数论的一些基本成果。

前三部分的内容大都是其他数学家的成果，但高斯是首个将这些成果系统地汇集在一本书里的人。他也是首个意识到唯一分解定理之重要性的人。

进入第四部分后，大部分内容便是高斯的原创了。

高斯曾经写过《算术研究》的第八部分，探讨更高次的同余方程，但并没能完成。草稿在他逝世后分批出版。

影响

在《算术研究》发表以前，数论研究只是一些孤立定理与猜想。高斯首次将这些零星的结果加以系统的处理，修补和改进了以往的证明，并在此之上发展出了自己的一系列理论与成果。《算术研究》是现代数论研究的开端。

《算术研究》一书的逻辑结构——声明定理、给出证明，然后给出系理或推论——为以后的教科书编写提供了一个榜样，成了后世教材的标准结构。为了使读者能够理解证明的逻辑思路，高斯在证明后会给出相应的例子，这一点也为后来的教材所采用。

《算术研究》亦是十九世纪欧洲数学家如库默尔、狄利克雷和戴德金等人著书的出发点。他们继承了高斯的研究。许多《算术研究》中的评注和没有证明的命题成为了新的研究热点。即使到了二十世纪，《算术研究》仍在产生影响。比如第五部分中高斯简要地叙述了他关于虚二次域类数的计算，并猜想他已经找到了所有类数为1、2和3的虚二次域。这个后来称为类数问题的猜想直到1986年才获得了肯定的答案。同样在第五部分，高斯证明了可以被解释为黎曼猜想的第一类非平凡情况：哈斯-韦伊定理。

译本和相关著作

《算术研究》虽然是一部十分重要的数论著作，但由于全书以拉丁文写就，内容深奥难懂，因此将其翻译成各国语言和进行注释阐述的工作一直不断。1807年，《算术研究》的法文译本出版。1863年，狄利克雷写了《数论讲义》（Vorlesungen über Zahlentheorie）一书，对《算术研究》作了明晰的阐释。1889年德文译本出版。1959年出版了俄文译本；1965年出版了英文版。

引用

《算术研究》常常被引用，出现在各种数学论文、著作和教材的注释中。引用时一般简写为“DA”。

评价

“高斯曾说：‘数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。’如果这是真理，我们还可以补充一点：《算术研究》是数论的。”——莫里茨·康托

“此书（《算术研究》）是一座不朽的丰碑，揭示了人类思想所能达到的浩瀚的广度和令人惊叹的深度。”——爱德华·卢卡斯

“众书之王”——利奥波德·克罗内克

“高斯首次将数学的这个部分（数论）变成了一门独立的科学，而《算术研究》则是第一部详尽而系统的著作。……由于雅可比和狄利克雷……这本二十年来一直被七道漆封的著作成为了当代的数学。……封漆还未完全解开。”——约翰·西奥多·梅兹

“数论曾一度止步不前，……这就是为什么深奥而新颖的《算术研究》预示着高斯将成为欧洲最伟大的头脑之一。”——路易·潘索

参见

数论

卡尔·弗里德里希·高斯

二次互反律

注释及参考来源

Carl Friedrich Gauss tr. Arthur A. Clarke: Disquisitiones Aritmeticae, Yale University Press, 1965 ISBN 0-300-09473-6

Disquisitiones Arithmeticae

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