定理

设闭区域 D 由分段光滑的简单曲线 L 围成，函数P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上有一阶连续偏导数，则有

其中L是D的取正向的边界曲线。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林恒等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

D 为一个简单区域时的证明

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。

如果我们可以证明

以及

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：

其中g1和g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的并集。

对于C1，使用参数方程：x = x，y = g1(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

对于C3，使用参数方程：x = x，y = g2(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此：

所以：

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。

应用

计算区域面积

使用格林公式，可以用线积分计算区域的面积。因为区域D的面积等于A=∬ ∬ -->DdA{\displaystyle A=\iint _{D}dA}，所以只要我们选取适当的L与M使得∂ ∂ -->M∂ ∂ -->x− − -->∂ ∂ -->L∂ ∂ -->y=1{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}，就可以通过A=∮C(Ldx+Mdy){\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)}来计算面积。

一种可能的取值是A=∮Cxdy=− − -->∮Cydx=12∮C(− − -->ydx+xdy){\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy)}。

参见

高斯公式

斯托克斯公式

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