族谱网 头条 人物百科

摄动理论

2020-10-16
出处:族谱网
作者:阿族小谱
浏览:1074
转发:0
评论:0
摄动理论应用摄动理论是量子力学的一个重要的工具。因为,物理学家发觉,甚至对于中等复杂度的哈密顿量,也很难找到其薛定谔方程的精确解。物理学家所知道的就只有几个量子模型有精确解,像氢原子、量子谐振子、与盒中粒子。这些量子模型都太过理想化,无法适当地描述大多数的量子系统。应用摄动理论,可以将这些理想的量子模型的精确解,用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。例如,通过添加一个摄动的电势于氢原子的哈密顿量,可以计算在电场的作用下,氢原子谱线产生的微小偏移(参阅斯塔克效应)。应用摄动理论而得到的解答并不是精确解,但是,这方法可以计算出相当准确的解答。假若使展开的参数λλ-->{\displaystyle\lambda}变得非常的小,得到的解答会很准确。通常,解答是用有限数目的项目的λλ-->{\displaystyle\lambda}的幂级数来表达。历史埃尔温·薛定谔在创立了奠定基石的量子波力学理论后...

摄动理论应用

摄动理论是量子力学的一个重要的工具。因为,物理学家发觉,甚至对于中等复杂度的哈密顿量,也很难找到其薛定谔方程的精确解。物理学家所知道的就只有几个量子模型有精确解,像氢原子、量子谐振子、与盒中粒子。这些量子模型都太过理想化,无法适当地描述大多数的量子系统。应用摄动理论,可以将这些理想的量子模型的精确解,用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。例如,通过添加一个摄动的电势于氢原子的哈密顿量,可以计算在电场的作用下,氢原子谱线产生的微小偏移(参阅斯塔克效应)。

应用摄动理论而得到的解答并不是精确解,但是,这方法可以计算出相当准确的解答。假若使展开的参数λ λ -->{\displaystyle \lambda }变得非常的小,得到的解答会很准确。通常,解答是用有限数目的项目的λ λ -->{\displaystyle \lambda }的幂级数来表达。

历史

埃尔温·薛定谔在创立了奠定基石的量子波力学理论后,经过短短一段时间,于 1926年,他又在另一篇论文里,发表了摄动理论。在这篇论文里,薛定谔提到约翰·斯特拉特,第三代瑞利男爵先前的研究。瑞利勋爵曾经在弦的谐振动的摄动研究,得到突破性的结果。现今,摄动理论时常又被称为瑞利-薛定谔摄动理论。

一阶修正

设想一个不含时间的零摄动哈密顿量H0{\displaystyle H_{0}},有已知的本征值能级En(0){\displaystyle E_{n}^{(0)}}和已知的本征态|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }。它们的关系可以用不含时薛定谔方程表达为

为了简易起见,假设能级是离散的。上标(0){\displaystyle (0)}标记所有零摄动系统的物理量与量子态。

现在添加一个摄动于哈密顿量。让摄动V{\displaystyle V}代表一个很微弱的物理扰动,像外场产生的势能。设定λ λ -->{\displaystyle \lambda }为一个无量纲的参数。它的值可以从0{\displaystyle 0}变化到1{\displaystyle 1}。含摄动哈密顿量H{\displaystyle H}表达为

含摄动哈密顿量的能级En{\displaystyle E_{n}}和本征态|n⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n\rangle }由薛定谔方程给出:

在这里,主要目标是用零摄动能级和零摄动量子态表达出En{\displaystyle E_{n}}和|n⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n\rangle }。假若摄动足够的微弱,则可以将它们写为λ λ -->{\displaystyle \lambda }的幂级数:

其中,

当λ λ -->=0{\displaystyle \lambda =0}时,En{\displaystyle E_{n}}和|n⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n\rangle }分别约化为零摄动值,级数的第一个项目,En(0){\displaystyle E_{n}^{(0)}}和|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }。由于摄动很微弱,含摄动系统的能级和量子态应该不会与它们的零摄动值相差太多,高阶项目应该会很快地变小。

将幂级数代入薛定谔方程,

展开这公式,匹配每一个λ λ -->{\displaystyle \lambda }齐次的项目,可以得到一组无穷级数的联立的方程。零次λ λ -->{\displaystyle \lambda }的方程就是零摄动系统的薛定谔方程。一次λ λ -->{\displaystyle \lambda }的方程即

将⟨ ⟨ -->n(0)|{\displaystyle \langle n^{(0)}|}内积于这方程:

这方程的左手边第一个项目与右手边第一个项目相抵去(回忆零摄动哈密顿量是厄米算符)。这导致一阶能级修正:

在量子力学里,这是最常用到的方程之一。试着解释这方程的内涵,En(1){\displaystyle E_{n}^{(1)}}是系统处于零摄动状态时,其哈密顿量摄动V{\displaystyle V}的期望值。假若摄动被施加于这系统,但继续保持系统于量子态|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }。虽然,|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }不再是新哈密顿量的本征态,它仍旧是一个物理允许的量子态。施作的摄动使得这量子态的平均能量增加⟨ ⟨ -->n(0)|V|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }。可是,正确的能量修正稍微不同,因为含摄动系统的本征态并不是|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }。必须等待二阶和更高阶的能量修正,才能给出更精密的修正。

现在计算能量本征态的一阶修正|n(1)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(1)}\rangle }。请先注意到,由于所有的零摄动本征态|k(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |k^{(0)}\rangle }形成了一个正交基,|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }可以表达为

所以,单位算符可以写为所有密度矩阵的总合:

应用这恒等关系,

将这公式代入公式(1),稍加编排,可以得到

将⟨ ⟨ -->m(0)|,m≠ ≠ -->n{\displaystyle \langle m^{(0)}|,\,m\neq n}内积于这方程:

暂时假设零摄动能级没有简并。也就是说,在系统里,抽取任意两个不同的能量本征态,其能级必不相等。那么,

为了避免分母可能会等于零,必须设定零摄动能级没有简并。稍后,会讲述简并系统的解法.

由于所有的|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }形成了一个正交基,|n(1)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(1)}\rangle }可以表达为

这总合表达式包括了cn|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle c_{n}|n^{(0)}\rangle }项目,假设|n(1)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(1)}\rangle }满足公式(2),则对于任意变数α α -->{\displaystyle \alpha },必定|n(1)⟩ ⟩ -->+α α -->|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(1)}\rangle +\alpha |n^{(0)}\rangle }也满足公式(2)。设定α α -->=− − -->cn{\displaystyle \alpha =-c_{n}},那么,|n(1)⟩ ⟩ -->=∑ ∑ -->k≠ ≠ -->nck|k(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}c_{k}|k^{(0)}\rangle }也满足公式(2)。所以,

对公式(4)的意义稍微解释。含摄动能量本征态|n⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n\rangle }的一阶修正|n(1)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(1)}\rangle },总合了每一个零摄动能量本征态|k(0)⟩ ⟩ -->,k≠ ≠ -->n{\displaystyle |k^{(0)}\rangle ,\,k\neq n}的贡献。每一个贡献项目跟⟨ ⟨ -->k(0)|V|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }成正比,是摄动作用于本征态|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }而产生的量子态,这量子态处于本征态|k(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |k^{(0)}\rangle }的概率幅;每一个贡献项目又跟能量本征值En(0){\displaystyle E_{n}^{(0)}}与能量本征值Ek(0){\displaystyle E_{k}^{(0)}}的差值成反比,这意味的是,假若En(0){\displaystyle E_{n}^{(0)}}附近有更多的本征态,摄动对于量子态修正|n(1)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(1)}\rangle }会造成更大的影响。还有,假若有任何量子态的能量与|n0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{0)}\rangle }的能量相同,这个表达式会变为奇异的(singular)。这就是为什么先前设定简并不存在。

原本的零摄动能量本征态满足归一性:

加上了一阶修正,是否仍旧满足归一性?取至一阶,

可是,

所以,答案是肯定的。取至一阶,|n⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n\rangle }满足归一性:

二阶与更高阶修正

使用类似的程序,可以找出更高阶的修正,虽然现在采用的这种表述,会使计算变得相当的冗长。取至二阶,能量本征值与归一化的本征态分别为

继续延伸这程序,三阶能量修正可以计算出来:

简并

假设两个以上的能量本征态是简并的,也就是说,它们的能量本征值相同,则其一阶能量修正不是唯一定义的(well-defined),因为没有唯一方法来确定一个零摄动本征态正交基。一阶本征态修正的计算也会遇到严峻的问题,因为假若本征态|n(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |n^{(0)}\rangle }与本征态|k(0)⟩ ⟩ -->{\displaystyle |k^{(0)}\rangle }是简并的,则公式(3)的分数内的分母En(0)− − -->Ek(0)=0{\displaystyle E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}=0},这造成公式(4)无解。

对于某个能级En(0){\displaystyle E_{n}^{(0)}},将其所有简并的量子态生成的子空间标记为D{\displaystyle D}。借着选择生成本征态的不同的线性组合,可以为D{\displaystyle D}构造一个不同的正交基。含摄动系统的量子态可以表达为

其中,α α -->nk{\displaystyle \alpha _{nk}}是常数。

对于一阶摄动,必须在简并子空间D{\displaystyle D}内,同时与近似地计算,哈密顿量摄动对于每一个简并的本征态的作用:

其中,ϵ ϵ -->n{\displaystyle \epsilon _{n}}是摄动所造成的能级分裂

这是一个本征值问题,等价于对角化以下矩阵:

通常,简并能量的分裂ϵ ϵ -->n{\displaystyle \epsilon _{n}}可以在实验中被测量出来。虽然,与简并量子态的能级本身相比,分裂值可能很小,但这对了解诸如精细结构、核磁共振等物理现象,仍然是非常重要的。

别的不简并本征态造成的修正也可以用不简并方法找到:

当作用于D{\displaystyle D}以外的本征态时,这方程左手边的算符并不奇异(singular)。所以,这方程可以写为

近简并量子态也应该使用前面讲述的方法来解析,因为,在近简并量子态的子空间内,能级的相差很可能是摄动的量级。近自由电子模型是一个标准案例,即便是对于很小的摄动,正确的近简并计算也能给出能隙。

参阅

斯塔克效应

塞曼效应

自旋-轨道作用

精细结构

超精细结构

兰姆位移


免责声明:以上内容版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者,感谢每一位的分享。

——— 没有了 ———
编辑:阿族小谱
发表评论
写好了,提交
{{item.label}}
{{commentTotal}}条评论
{{item.userName}}
发布时间:{{item.time}}
{{item.content}}
回复
举报
点击加载更多
打赏作者
“感谢您的打赏,我会更努力的创作”
— 请选择您要打赏的金额 —
{{item.label}}
{{item.label}}
打赏成功!
“感谢您的打赏,我会更努力的创作”
返回

更多文章

更多精彩文章
打赏
私信

推荐阅读

· 摄动理论
微扰阶数摄动理论的标准阐述主要是以微扰的阶数来分辨:一阶摄动理论或二阶摄动理论。再来就是以微扰的简并度来分辨:无简并或有简并。有简并的摄动,又称为奇异摄动(singularperturbation),比较难解,必须用到更进阶的理论。一阶无简并摄动理论本段落讲述微分方程的一阶微扰理论。为了简单易解,假设零微扰系统的解答是不简并的。一阶本征值修正许多常微分方程或偏微分方程可以表达为其中,D{\displaystyleD\,\!}是某特定微分算子,λλ-->{\displaystyle\lambda\,\!}是其本征值。假设微分算子可以写为其中,ϵϵ-->{\displaystyle\epsilon\,\!}是微小的度量。又假设我们已知道D(0){\displaystyleD^{(0)}\,\!}的解答的完备集{fi(0)(x)}{\displaystyle\{f_{i}^{(0)}(x)\}\...
· 含时摄动理论
导引让我们简略的解释,含时摄动理论的狄拉克表述,其背后的点子。先为零摄动系统选择一个能量本征态的正交基|n⟩⟩-->{\displaystyle{|n\rangle}}。这些本征态与时间无关。假若,在时间t=0{\displaystylet=0},零摄动系统处于本征态|j⟩⟩-->{\displaystyle|j\rangle}。那么,随着时间流逝,这系统的量子态可以表达为(采用薛定谔绘景:量子态随着时间流逝而演化,而对应于可观算符的算符则与时间无关)其中,Ej{\displaystyleE_{j}}是本征态|j⟩⟩-->{\displaystyle|j\rangle}的能级,ℏℏ-->{\displaystyle\hbar}是约化普朗克常数。现在,添加一个含时间的哈密顿量摄动V(t){\displaystyleV(t)}。包括摄动系统在内的哈密顿量H{\displ...
· 摄动
相关条目海卫二:海王星外围的一颗卫星,有很高的轨道离心率,接近~0.75,并且经常受到摄动。吻切轨道轨道
· X理论和Y理论
理论内容这是一对完全基于两种完全相反假设的理论,X理论认为人们有消极的工作源动力,而Y理论则认为人们有积极的工作源动力。持X理论的管理者会趋向于设定严格的规章制度,以减低员工对工作的消极性。持Y理论的管理者主张用人性激发的管理,使个人目标和组织目标一致,会趋向于对员工授予更大的权力,让员工有更大的发挥机会,以激发员工对工作的积极性。原则人性本善的管理原则和方法民主领导人人参与积极沟通满足需要潜能发挥适当授权参见动机Z理论参考文献^Denhardt,RobertB.ManaginghumanbehaviorinPublicandNon-profitorganizations.California,U.S.A:SAGEPublications,Inc.:150.ISBN9781412956673(英语).
· 理论
著名理论数学:集合论、混沌理论、图论、数论和概率论;统计学:极值理论(Extremevaluetheory);物理学:牛顿力学、相对论、量子力学、标准模型、弦理论、超弦理论、大统一理论、M理论、声学理论(Acoustictheory)、天线理论(Antennatheory)、万物理论(Theoryofeverything)、卡鲁扎-克莱恩理论(KK理论,Kaluza-Kleintheory)、圈量子引力理论(Loopquantumgravity);行星科学与地球科学生物学:自然选择理论;进化论;地理学:大陆漂移学说、板块构造学说;气象学:全球暖化理论(全球变暖理论,Globalwarming);人类学:批判理论;经济学:微观经济、宏观经济、博弈论社会学:批判社会理论(Criticalsocialtheory)、价值论(Valuetheory)管理学:X理论、Y理论、Z理论性科学:梯子理论(...

关于我们

关注族谱网 微信公众号,每日及时查看相关推荐,订阅互动等。

APP下载

下载族谱APP 微信公众号,每日及时查看
扫一扫添加客服微信