作为格的函数

一个模形式可视为从所有格Λ Λ -->⊂ ⊂ -->C{\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }（即：C{\displaystyle \mathbb {C} }中的离散加法子群，使得其商群紧致）的集合映至C{\displaystyle \mathbb {C} }的函数F{\displaystyle F}，使之满足下述条件：

若考虑形如Λ Λ -->:=⟨ ⟨ -->α α -->,z⟩ ⟩ -->{\displaystyle \Lambda :=\langle \alpha ,z\rangle }之格，其中α α -->{\displaystyle \alpha }为常数而z{\displaystyle z}为变数，则F(Λ Λ -->){\displaystyle F(\Lambda )}是z{\displaystyle z}的全纯函数。

存在常数k{\displaystyle k}（通常取正整数），使得对任何α α -->∈ ∈ -->C× × -->{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ^{\times }}，有F(α α -->Λ Λ -->)=α α -->kF(Λ Λ -->){\displaystyle F(\alpha \Lambda )=\alpha ^{k}F(\Lambda )}。常数k称为此模形式之权。

对于最小非零元与原点距离大于一定值之格Λ Λ -->{\displaystyle \Lambda }，|F(Λ Λ -->)|{\displaystyle |F(\Lambda )|}有上界。

当k=0{\displaystyle k=0}，条件二表明F(Λ Λ -->){\displaystyle F(\Lambda )}仅决定于Λ Λ -->{\displaystyle \Lambda }在相似变换下的等价类。这是重要的特例，但是权为零的模形式必为常数函数。若去掉条件三，并容许函数有极点，则存在非常数的例子，称作模函数。

这个状况可以与射影空间P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}作类比：对于射影空间，我们欲寻找向量空间V{\displaystyle V}上对座标的多项式函数F{\displaystyle F}，并满足F(cv)=F(v){\displaystyle F(cv)=F(v)}；不幸的是，这种函数必为常数。一种办法是容许有分母（即考虑有理函数），则满足条件的是分子、分母为同次数齐次多项式的有理函数。另一种办法则是修改条件F(cv)=F(v){\displaystyle F(cv)=F(v)}为F(cv)=ckF(v){\displaystyle F(cv)=c^{k}F(v)}，则满足此条件的函数为k{\displaystyle k}次齐次多项式，对每个固定的k{\displaystyle k}，这些函数构成有限维向量空间。借着考虑所有可能的k{\displaystyle k}，我们可以找出构造P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}上的有理函数所需之分子与分母。

既然k{\displaystyle k}次齐次多项式在P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}上并非真正的函数，该如何从几何上诠释？代数几何给出了一个答案：它们是P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}上某个层O(k){\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}的截面。模形式的情形也类似，但考虑的不是P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}，而是某个模空间。

作为椭圆曲线模空间上的函数

每个格Λ Λ -->⊂ ⊂ -->C{\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }都决定一条复椭圆曲线C/Λ Λ -->{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }；两个格给出的椭圆曲线同构的充要条件是两个格之间差一个非零复数的倍数。因此模函数可以看作是复椭圆曲线的模空间上的函数。例如椭圆曲线的j-不变量就是模函数。模形式可视作模空间上某些线丛的截面。

每个格在乘上某个非零复数倍数后皆可表成Λ Λ -->=⟨ ⟨ -->1,z⟩ ⟩ -->(Im(z)>0){\displaystyle \Lambda =\langle 1,z\rangle \quad (\mathrm {Im} (z)>0)}。对一模形式F{\displaystyle F}，置f(z):=F(⟨ ⟨ -->1,z⟩ ⟩ -->){\displaystyle f(z):=F(\langle 1,z\rangle )}。模形式的第二个条件可改写成函数方程：对所有a,b,c,d∈ ∈ -->Z{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }且ad− − -->bc=1{\displaystyle ad-bc=1}（即模群Γ Γ -->:=SL(2,Z){\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}之定义），有

例如，取a=d=0,b=− − -->1,c=1{\displaystyle a=d=0,b=-1,c=1}：

如果上述方程仅对SL(2,Z){\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}内的某个有限指数子群Γ Γ -->′{\displaystyle \Gamma "}成立，则称F{\displaystyle F}为对Γ Γ -->′{\displaystyle \Gamma "}的模形式。最常见的例子是同余子群Γ Γ -->(N):={g∈ ∈ -->Γ Γ -->:g≡ ≡ -->ImodN}{\displaystyle \Gamma (N):=\{g\in \Gamma :g\equiv I\mod N\}}，以下将详述。

广义定义

令N{\displaystyle N}为正整数，相应的模群Γ Γ -->0(N){\displaystyle \Gamma _{0}(N)}定义为

令k{\displaystyle k}为正整数，权为k{\displaystyle k}的N{\displaystyle N}级（或级群为Γ Γ -->0(N){\displaystyle \Gamma _{0}(N)}）模形式定义为一个上半平面上的全纯函数f{\displaystyle f}，对任何

及任何属于上半平面的z{\displaystyle z}，有

而且f{\displaystyle f}在尖点全纯。所谓尖点，是Q∪ ∪ -->{+i∞ ∞ -->}{\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{+i\infty \}}在Γ Γ -->0(N){\displaystyle \Gamma _{0}(N)}作用下的轨道。例如当N=1{\displaystyle N=1}时，+i∞ ∞ -->{\displaystyle +i\infty }代表了唯一的尖点。模形式在尖点p{\displaystyle p}全纯，意谓z→ → -->p{\displaystyle z\rightarrow p}时f{\displaystyle f}有界。当此尖点为+i∞ ∞ -->{\displaystyle +i\infty }时，这等价于f傅立叶isplaystyle f}有傅立叶展开式

其中x=exp⁡ ⁡ -->(2π π -->iz){\displaystyle x=\exp(2\pi iz)}。对于其它尖点，同样可藉座标变换得到傅立叶展开。

若对每个尖点都有c(0)=0{\displaystyle c(0)=0}，则称之为尖点形式（德文：Spitzenform）。使得c(n)≠ ≠ -->0{\displaystyle c(n)\neq 0}的最小n{\displaystyle n}称作f{\displaystyle f}在该尖点的阶。以上定义的模形式有时也称为整模形式，以区分带极点的一般情形（如j-不变量）。

另一种的推广是考虑某类函数j(a,b,c,d,z){\displaystyle j(a,b,c,d,z)}，并将函数方程改写为

上式所取的j(a,b,c,d,z):=(cz+d){\displaystyle j(a,b,c,d,z):=(cz+d)}称为自守因子。若另取适当的j{\displaystyle j}，则在此框架下亦可探讨戴德金η函数，这是权等于1/2的模形式。例如：一个权等于k{\displaystyle k}、N{\displaystyle N}级、nebentypus为χ χ -->{\displaystyle \chi }（χ χ -->{\displaystyle \chi }是模N{\displaystyle N}的一个狄利克雷特征）是定义于上半平面，并具下述性质的全纯函数：对任意

及属于上半平面的z{\displaystyle z}，有函数方程

此外，f{\displaystyle f}必须在尖点全纯。

例子

艾森斯坦级数

模形式最简单的例子是艾森斯坦级数：对每个偶数k>2{\displaystyle k>2}，定义

（条件k>2{\displaystyle k>2}用于确立收敛性）

θ函数

所谓Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中的偶单位模格L{\displaystyle L}，是指由一个行列式等于一的n{\displaystyle n}阶矩阵的行向量展成之格，并使得每个L{\displaystyle L}中的向量长度均为偶数。根据普瓦松求和公式，此时对应的Theta函数

是权=n/2{\displaystyle =n/2}的模形式。偶单位模格的构造并不容易，以下是方法之一：令n{\displaystyle n}为8的倍数，并考虑所有向量v∈ ∈ -->Rn{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}，使得2v{\displaystyle 2v}的座标均为奇数或均为偶数，且v{\displaystyle v}的各座标总和为奇数。由此构成的格写作Ln{\displaystyle L_{n}}。当n=8{\displaystyle n=8}，根系由根系E8{\displaystyle E_{8}}的根生成。虽然L8× × -->L8{\displaystyle L_{8}\times L_{8}}与L16{\displaystyle L_{1}6}并不相似，由于权=8{\displaystyle =8}的模形式只有一个（至多差一个常数倍），遂得到

约翰·米尔诺发现：R16{\displaystyle \mathbb {R} ^{16}}对这两个格的商空间给出两个16维环面，彼此不相等距同构，但它们的拉普拉斯算子有相同的特征值（计入重数）。

戴德金η函数

戴德金η函数定义为

模判别式Δ Δ -->(z)=η η -->(z)24{\displaystyle \Delta (z)=\eta (z)^{24}}是权=12{\displaystyle =12拉马努金式。拉马努金有一个著名的猜想：在Δ Δ -->(z){\displaystyle \Delta (z)}的傅立叶展开式中，对任一素数p{\displaystyle p}，qp{\displaystyle q^{p}}的系数的绝对值恒≤ ≤ -->2p11/2{\displaystyle \leq 2p^{11/2}}。此猜想最后由德利涅证明。

上述诸例点出了模形式与若干古典数论问题的联系，例如以二次型表示整数以及整数分拆问题。赫克算子理论阐释了模形式与数论的关键联系，同时也联系了模形式与表示理论。

其他模函数概念的推广

模函数的概念还能做一些推广。

例如，可以去掉全纯条件：马斯形式是上半平面的拉普拉斯算子的特征函数，但并非全纯函数。

此外，可以考虑SL(2,Z){\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}以外的群。希尔伯特模形式是n{\displaystyle n}个变元的函数，每个变元都属于上半平面。其函数方程则由分布于某个全实域的二阶方阵来定义。若以较大的辛群取代SL(2){\displaystyle SL(2)}，便得到西格尔模形式。模形式与椭圆曲线相关，而西格尔模形式则涉及更广义的阿贝尔簇。

自守形式的概念可用于一般的李群。

参考文献

Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973.在其第七章提供了模形式理论的浅介

Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0

Goro Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971.提供较进阶的阐述

Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975.就表示理论观点审视模形式

Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X

Stein"s notes on Ribet"s courseModular Forms and Hecke Operators

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