正式表述

微积分基本定理（FTC）有两个部分，第一部分是关于原函数的导数，第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。

第一部分 / 第一基本定理

设 a , b ∈ ∈ --> R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } ，设 f : [ a , b ] ⟶ ⟶ --> R {\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R黎曼} 为黎曼可积的函数，定义

如果 f 在[a,b]连续，则

F 在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)可导

∀ ∀ --> x ∈ ∈ --> ( a , b ) F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \forall x\in (a,b)\quad F"(x)=f(x)}

如果 G 是 f 的原函数，则 G − − --> F {\displaystyle G-F} 是一个常数

第二部分 / 第二基本定理

设 a , b ∈ ∈ --> R a R {\displaystyle f,F:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} } ，满足

F 连续

f 是 F 的导函数，即 ∀ ∀ --> x ∈ ∈ --> ( a , b ) F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \forall x\in (a,b)\quad F"(x)=f(x)}

那么，若 f 黎曼可积(例如 f 连续)，则我们有

证明

第一部分

假设有

设 x 1 和 x 1 + Δ x 为区间[ a , b ]中的两个数。我们有

和

两式相减，得

可以证明

整理，得

把上式代入(1)，得

根据积分第一中值定理，在区间( x 1 , x 1 + Δ x )存在一个 c ，使得

把上式代入(2)，得

两边除以Δ x ，得

两边取Δ x → 0的极限，

左边的表达式是 F 在 x 1 处的导数的定义。

我们用夹挤定理来求另一个极限。 c 在区间[ x 1 , x 1 + Δ x ]内，因此 x 1 ≤ c ≤ x 1 + Δ x 。

另外 lim Δ Δ --> x → → --> 0 x 1 = x 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}} and lim Δ Δ --> x → → --> 0 x 1 + Δ Δ --> x = x 1 . {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}\,.}

所以，根据夹挤定理，

代入(3)，可得

函数 f 在 c 处连续，所以极限可以在函数里面进行。因此，我们有

证明完毕。

第二部分

设 f 在区间[ a , b ]上连续，并设 F 为 f 的原函数。我们从以下表达式开始

设有数

使得

可得

我们加上 F ( x i )及其相反数，这样等式仍成立：

以上表达式可用以下的和表示：

我们将使用均值定理。就是：

设 F 在闭区间[ a , b ]连续，在开区间( a , b )可导，则开区间( a , b )内一定存在 c 使得

可得

函数 F 在区间[ a , b ]可导，所以在每一个区间 x i -1 也是可导和连续的。因此，根据介值定理，

把上式代入(1)，得

根据第一部分的结论，我们有 F ′ ( c i ) = f ( c i ) {\displaystyle F"(c_{i})=f(c_{i})} 。另外， x i − − --> x i − − --> 1 {\displaystyle x_{i}-x_{i-1}} 可表示为第 i {\displaystyle i} 个小区间的 Δ Δ --> x {\displaystyle \Delta x} 。

一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。

注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到， Δ Δ --> x i {\displaystyle \Delta x_{i}} 并不需要对于任何 i {\displaystyle i} 都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用 n {\displaystyle n} 个矩形来近似代替曲线。现在，当n增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出黎曼积分。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以，我们把(2)式的两边取极限，得

F ( b )和 F ( a )都不依赖于||Δ||，所以左面的极限仍然是 F ( b ) - F ( a )。

右边的表达式定义了 f 从 a 到 b 的积分。这样，我们有

证明完毕。

例子

计算以下积分：

在这里， f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} ， F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={x^{3} \over 3}} 是一个原函数。因此：

推广

我们不需要假设 f 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明：如果 f 是区间[ a , b ]内的任何一个勒贝格可积的函数， x 0 是[ a , b ]内的一个数，使得 f 在 x 0 连续，则

在 x = x 0 是可导的，且 F" ( x 0 ) = f ( x 0 )。我们可以把 f 的条件进一步降低，假设它仅仅是可积的。这种情况下，我们便得出结论： F 几乎处处可导，且 F" ( x )几乎处处等于 f ( x )。这有时称为 勒贝格微分定理 。

定理的第一部分对于任何具有原函数 F 的勒贝格可积函数 f 都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。

泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。

对于复数函数，也有一个类似的形式：假设 U 是 C 的一个开集， f : U → C 是一个在 U 处具有全纯原函数 F 的函数。那么对于所有曲线γ: [ a , b ] → U ，曲线积分可以用下式来计算：

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分，也可以推广到流形。

这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理：设 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，并设 ω ω --> {\displaystyle \omega } 为 n −1阶 M 上的C 类紧支撑微分形式。如果∂ M 表示 M边界的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则

这里 d {\displaystyle \mathrm {d} \!\,} 是外导数，它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。

参看

极限

微分

积分

参考文献

Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable . 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.

Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable . 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.

Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).

Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals . Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.

Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)

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