历史

早期无限的观点

最早关于无限的记载出现在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”

印度耆那教的经书《Surya Prajnapti》（c. 400 BC） 把数分作三类：“可计的”、“不可计的”及“无限”。每一类再细分成三种阶：

可计的：小的、中的与大的。

不可计的：接近不可计的、真正不可计的、没有方法去计的，以及无限也包括在内。

无限：接近无限、真正无限与无穷无尽。

现代科学家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿，在残卷《方法》命题14中，发现阿基米德开始计算无穷大的数目。他采取近似于19世纪微积分与集合论的手法，计算了两组无穷大的集合，以求和的方法，证明它们之间的数目是相等的。

这是在人类记载上第一次出现无限也可以分类这一个念头。

文艺复兴时代至近代

伽利略最先发现一个集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。

他用上一一对应的概念说明自然数集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方数集{1,4,9,16,...}一样多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一对应正是用于研究无限必要的手法。

数学中的无穷

无限大的符号

无限大的符号是 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } Unicodeode为 U+221E “ ∞ ” INFINITY ，在LaTeX中表示为 \infty 。

无限大的符号是1655年由约翰·沃利斯开始使用 ，在开始使用后，也用在数学以外的领域，例如现代神秘主义 及符号学 。

微积分及实分析中的无穷

莱布尼茨是微积分的发明者之一，他提出许多有关无穷大及其在数学中应用的猜测。对莱布尼茨而言，无穷大和无穷小量都是理想的实体，和一般数值的本质不同，不过有类似的性质 。

在实分析中，符号 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } 称为“无穷大”，代表无界极限。 x → → --> + ∞ ∞ --> {\displaystyle x\to +\infty } 表示 x {\displaystyle x\quad } 超出任意给定值， x → → --> − − --> ∞ ∞ --> {\displaystyle x\to -\infty } 表示 x {\displaystyle x\quad } 最终小于任意给定值。

一函数积分的结果可能会是无限大，若对于所有的 t ， f ( t ) ≥ 0，则

∫ ∫ --> a b f ( t ) d t = ∞ ∞ --> {\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\ dt\ =\infty } 意思是 f ( t ) 在 a {\displaystyle a} 到 b {\displaystyle b} 的范围内，其面积是无限大。

∫ ∫ --> − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> f ( t ) d t = ∞ ∞ --> {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =\infty } 意思是在 f ( t )以下的总面积无限大。

∫ ∫ --> − − --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> f ( t ) d t = a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =a} 意思是在 f ( t )以下的总面积是有限的，且总面积等于 a {\displaystyle a} 。

无穷大也可以用来描述无穷级数：

∑ ∑ --> i = 0 ∞ ∞ --> f ( i ) = a {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=a} 意思是无穷级数的和会收敛到某一定值 a {\displaystyle a} 。

∑ ∑ --> i = 0 ∞ ∞ --> f ( i ) = ∞ ∞ --> {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=\infty } 意思是无穷级数的和会发散。

若将标记为 + ∞ ∞ --> {\displaystyle +\infty } 和 − − --> ∞ ∞ --> {\displaystyle -\infty } 的点加入到实数组成的拓扑空间，就产生实数集的“两点紧致化”。再加入代数属性，就得到了扩展的实数轴。也可将 + ∞ ∞ --> {\displaystyle +\infty } 和 − − --> ∞ ∞ --> {\displaystyle -\infty } 作为一个点，记作 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } ，并得到实数的“一点紧致化”，也就是 实射影线 （ 英语 ： Real射影几何jective line ） 。射影几何在平面几何上引入无穷远线，在高维上也有类似概念。

复变分析中的无穷

在复变分析中符号 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } 是指没有正负号的极限值。 x → → --> ∞ ∞ --> {\displaystyle x\rightarrow \infty } 是指 x 的大小 | x | {\displaystyle |x|} 会超过任意给定的数值。可无穷远点平面上加上拓扑空间，变成一个拓扑空间，即为复数平面的一点紧化。若完成后，复流形平黎曼一维的复流黎曼球面曲面，称为黎曼球面。也可以定义在其上的代数运算（不过有一个例外，无限大不能和本身相加）。另一方面，有无限大表示可以除以零，而对于任何不为0的复数 z ， z 0 = ∞ ∞ --> {\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty } ，因此可以将亚纯函数对映到黎曼球面上，只要将极点对应到无穷远点 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } 即可。复变函数的定义域也可以加入无穷远点，例如莫比乌斯变换的函数。

无穷大和无穷小

一般讲无穷指的都是无穷大，但是无穷小也是一种无穷。通过 y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} 的映射即可把无穷大映射为无穷小。在微积分中，常用高阶无穷小的概念。

无穷远点

无穷远点是一个加在实数轴上后得到实射影直线 R P 1 {\displaystyle \mathbb {R} P^{1}} 的点。

集合论中的无穷

无穷集合和其真子集的一对一对应

在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数（基数），有不同的“无穷”。

这里比较不同的无穷的“大小”的时候，唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断，而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系，它们就具有相同的基数。

例如，

可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为 ℵ ℵ --> 0 {\displaystyle \aleph _{0}} （阿列夫零）。

比可数集合“大”的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同，为 2 ℵ ℵ --> 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 。

由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明超穷基数的个数是无穷的。然而有趣的是，超穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个基数，否则会产生某种形式的康托尔悖论。

几何学和拓扑学

无限维的空间常用在几何学及拓扑学中，尤其是在 分类空间 （ 英语 ： classifying space ） ，也就是 Eilenberg−MacLane空间 （ 英语 ： Eilenberg−MacLane space ） 。常见的例子包括无限维的 复射影空间 （ 英语 ： complex projective space ） K(Z,2)，以及无限维的实射影空间K(Z/2Z,1)。

分形

科赫曲线的前四次迭代

分形的结构可以重复的放大，分形可以无限次的放大，但不会变的圆滑，而且仍维持原有的结构，分形的周长是无限的，有些的面积无限，但有些的面积却是有限。像科赫曲线就是有无限周长和有限面积的例子。

没有无穷的数学

利奥波德·克罗内克怀疑无限的概念，也怀疑1870年代及1880年代时数学家使用无限的方式。这种怀疑主义形成一种称为有限主义的数学哲学，是属于数学结构主义及数学直觉主义中的一种极端形式 。

物理中的无穷

在物理上，实数的近似会用在 连续量 （ 英语 ： Continuum (theory) ） 的量测上，自然数的近似会用在离散的量测上。因此科学家假设没有可观察量会到无穷的数值，这是因为科学家很自然的，事实上已经是默认的接受了这样的事情：即在真实的物理场景里，是不存无穷大的可观测物理量的。在例如在扩展的实数轴上取一个无穷的值，或是需要计算某个无穷次事件的次数。因此会预设没有任何物体会有无穷的质量或是能量。有些事物的概念和无限有关，例如无限平面波，但现今尚没有方法可以由实验产生无限平面波 。

电脑计算中的无穷

IEEE 754浮点数标准中定义了正无限大及负无限大，定义为溢位、除以零或其他异常程序的结果。

像Java 及J语言 等编程语言允许在程式中直接用类似常数的方式存取正负无限大。正负无限大可以作为最大元，因为比所有其他的数都大（或是小）。正负无限大也可以做为像排序、搜寻或窗函数等算法中的 哨兵值 （ 英语 ： sentinel value ） ，找到这个值时可以结束计算。

在一些没有最大或最小元素，但允许关系运算子多载的编程语言中，程序员也可以“创建”最大及最小元素。若语言不允许直接存取最大或最小元素，但有浮点数的形态，也可以用特定的运算产生正负无限大，再进行其他处理。

微软的 Visual Studio 用无穷大符号作为图标。

艺术及认知科学中的无穷

透视艺术使用了消失点或是无穷远点的概念．也就是放在观察者无穷远处的一个点。因此画家可以绘制有现实感空间及距离的作品 。艺术家莫里茨·科内利斯·埃舍尔就常将无穷的概念用在他的作品中。

认知科学家乔治·莱考夫将数学及科学中无限的概念视为一个隐喻。这个观点是基于简单的无限隐喻，定义为一直递增的数列。

无限的符号常浪漫的表示永恒的爱，许多现代的珠宝就在其造型中加入无限的符号。

Crypton Future Media 的角色主唱系列中 CV-03巡音流歌的人物形象即包含无穷大的符号以象征“循环、巡回”之意。

相关条目

0.999…

非标准分析

连续统假设

无限猴子定理

无穷公理

衔尾蛇

艾礼富数

无限集合

超现实数

无穷远焦点

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。