性质

古德曼函数，图中的蓝色横线为渐近线 y = ± ± --> π π --> 2 {\displaystyle \scriptstyle {y=\pm {\frac {\pi }{2}}}\,\!} 。

古德曼函数的定义如下

（ g d ( x ) = a r c c o t ( c s c h x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)=\mathrm {arccot} \left(\mathrm {csch} \,x\right)\end{aligned}}\,\!} 仅在arccot的值域设为 [ − − --> π π --> 2 , π π --> 2 ] {\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]} 时成立，参见反余切。）

有以下恒等式：

反函数

古德曼函数的反函数，图中的蓝色直线为渐近线 x = ± ± --> π π --> 2 {\displaystyle \scriptstyle {x=\pm {\frac {\pi }{2}}}\,\!} 。

古德曼函数之反函数的定义为：

有以下恒等式：

余函数

古德曼函数的余函数

古德曼函数之余函数的定义为：

有以下恒等式：

微分

它们的导数分别为：

应用

在双曲几何中，表达式

在使用麦卡托投影法的地图，若以 y {\displaystyle y\,} 表示一个地点在地图跟赤道的距离，则其纬度 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi \,} 和 y {\displaystyle y\,} 的关系为：

古德曼函数在 倒单摆 （ 英语 ： Inverted pendulum ） 的非周期解现。

参考

CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.

Gudermannian Function -- from Wolfram MathWorld

发现者的生平

克里斯托夫·古德曼（Christof Gudermann，1798年–1852年）是德国数学家，是高斯的学生，卡尔·魏尔施特拉斯的老师。[1][2]

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