性质

  函数（蓝色）是凸的，当且仅当其上方的区域（绿色）是一个凸集。

定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f "(x) (y − x)。特别地，如果f "(c) = 0，那么c是f(x)的最小值。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x的二阶导数是f "(x) = 12 x，当x = 0时为零，但x是严格凸的。

更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。

凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。

对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。

延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果 X {\displaystyle X} 是一个随机变量，在f的定义域内取值，那么 E ( f ( X ) ) ≥ ≥ --> f ( E ( X ) ) . {\displaystyle E(f(X))\geq f(E(X)).} （在这里， E {\displaystyle E} 表示数学期望。）

凸函数的初等运算

如果 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 是凸函数，那么 m ( x ) = max { f ( x ) , g ( x ) } {\displaystyle m(x)=\max\{f(x),g(x)\}} 和 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)} 也是凸函数。

如果 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 是凸函数，且 g {\displaystyle g} 递增，那么 h ( x ) = g ( f ( x ) ) {\displaystyle h(x)=g(f(x))} 是凸函数。

凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是凸函数（ x ∈ ∈ --> R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} ），那么 g ( y ) = f ( A y + b ) {\displaystyle g(y)=f(Ay+b)} 也是凸函数，其中 A ∈ ∈ --> R n × × --> m , b ∈ ∈ --> R m . {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m},\;b\in \mathbb {R} ^{m}.}

如果 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 在 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 内是凸函数，且 C {\displaystyle C} 是一个凸的非空集，那么 g ( x ) = inf y ∈ ∈ --> C f ( x , y ) {\displaystyle g(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)} 在 x {\displaystyle x} 内是凸函数，只要对于某个 x {\displaystyle x} ，有 g ( x ) > − − --> ∞ ∞ --> {\displaystyle g(x)>-\infty } 。

例子

函数 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 处处有 f ″ ( x ) = 2 > 0 {\displaystyle f\,""(x)=2>0} ，因此f是一个（严格的）凸函数。

绝对值函数 f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。

当1 ≤ p时，函数 f ( x ) = | x | p {\displaystyle f(x)=|x|^{p}} 是凸函数。

定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0<x<1时f(x)=0，是凸函数；它在开区间(0,1)内连续，但在0和1不连续。

函数x的二阶导数为6x，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数，在x ≤ 0的集合上是凹函数。

每一个在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么 f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)} 。如果我们把“凸”换为“凹”，那么该命题也成立。

每一个在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如 f ( x ) = a T x + b {\displaystyle f(x)=a^{T}x+b} 的函数，既是凸函数又是凹函数。

每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。

如果 f {\displaystyle f} 是凸函数，那么当 t > 0 {\displaystyle t>0} 时， g ( x , t ) = t f ( x / t ) {\displaystyle g(x,t)=tf(x/t)} 是凸函数。

单调递增但非凸的函数包括 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 和 g ( x ) = log ⁡ ⁡ --> ( x ) {\displaystyle g(x)=\log(x)} 。

非单调递增的凸函数包括 h ( x ) = x 2 {\displaystyle h(x)=x^{2}} 和 k ( x ) = − − --> x {\displaystyle k(x)=-x} 。

函数f(x) = 1/x，f(0)=+∞，在区间(0,+∞)内是凸函数，在区间(-∞,0)内也是凸函数，但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点。

参见

凹函数

凸集

对数凸函数

参考文献

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Rockafellar, R. T. Convex analysis. Princeton: Princeton University Press. 1970. 

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Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.

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