定义及概念

考虑包含0的自然数n和k，则二项式系数 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 定义为(1 + X)的展式中，单项X的系数，亦即在二项式定理中的系数

（任何交换环元素x、y中有定义），亦因此得名为“二项式系数”。

此数的另一出处在组合数学，表达了从n物中，不计较次序取k物有多少方式，亦即从一n元素集合中所能组成k元素子集的数量。此定义与上述定义相同，理由如下：若将幂(1 + X)的n个因数逐一标记为i（从1至n），则任一k元素子集则建构成展式中的一个X项，故此该单项的系数等如此种子集的数量。亦因此，就任何自然数n和k而言， ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 亦为自然数。此外，二项式系数亦见于很多组合问题的解答中，如由n个位元（如数字0或1）组成的所有序列中，其和为k的数目为 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ，又如算式 k = a 1 + a 2 + ⋯ ⋯ --> + a n {\displaystyle k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}} ，其中每一ai均为非负整数，则有 ( n + k − − --> 1 k ) {\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}} 种写法。这些例子中，大部分可视作等同于点算k个元素的组合的数量。

计算二项式系数

除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 的值。

递归公式

以下递归公式可计算二项式系数：

其中特别指定：

此公式可由计算(1 + X)(1 + X)中的X项，或点算集合{1, 2, ..., n}的k个元素组合中包含n与不包含n的数量得出。

显然，如果k > n，则 ( n k ) = 0 {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0} 。而且对所有n， ( n n ) = 1 {\displaystyle {\tbinom {n}{n}}=1} ，故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用帕斯卡帕斯卡三角形。

乘数公式

个别二项式系数可用以下公式计算：

上式中第一个分数的分子是一阶乘幂。此公式可以二项式系数在计算组合数量的意义理解：分子为从n个元素中取出k个元素的序列之数量，当中包含同样的元素但不同排列次序的序列。分母则计算同样的k个元素可有多少种排序方式。

阶乘公式

二项式系数最简洁的表达式是阶乘:

其中“n!”是n的阶乘，此公式从上述乘数公式中分子分母各乘以(n − k)!取得，所以此公式中的分子分母有众同共同因子。除非先行抵销两边中的共同因子，否则以此公式进行计算时较率欠佳，尤因阶乘的数值增长特快。惟此公式展示了二项式系数的对称特性：

一般化形式及其与二项式级数的关系

若将n换成任意数值（负数、实数或复数）α，甚至是在任何能为正整数给出逆元素的交换环中的一元素，则二项式系数可籍乘数公式扩展：

此定义能使二项式公式一般化（其中一单项为1），故 ( α α --> k ) {\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}} 仍能相称地称作二项式系数：

此公式对任何复数α及X，|X| 幂级数的恒等式，即系数为常数1，任意幂之级数定义，且在此定义下，对于幂的恒等式成立，例如

若α是一非负整数n，则所有k > n的项为零，此无穷级数变成有限项的和，还原为二项式公式，但对于α的其他值，包括负数和有理数，此级数为无穷级数。

帕斯卡三角形 (杨辉三角)

  帕斯卡三角形的第1000行，垂直排列，且以灰阶表示系数的十进制数位，向右对齐，故左边边界约是二项式系数的对数，图中可见数族形成一对数凹数列。

帕斯卡法则是一重要的递归等式：

此式可以用于数学归纳法，以证明 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 对于所有n和k均为自然数（等同于证明k!为所有k个连续整数之积的因数），此特性并不易从公式(1)中得出。

帕斯卡法则建构出帕斯卡三角形:

第n横行列出 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 的k = 0,…,n项，其建构方法为在外边填上1，然后将上一行中每两个相邻数相加的和填在其下，此方法可快速地计算二项式系数而不涉及乘法或分数，例如从第5横行可马上得出

在斜线上相邻项的差就是上一斜线上的数值，此乃上述递归等式(3)的延伸意义。

组合数学和统计学

二项式系数是组合数学中的重要课题，因其可用于众多常见的点算问题中，例如

共有 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 种方式从n元素中选取k项。见组合。

共有 ( n + k − − --> 1 k ) {\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}} 种方式从一个n元素集合中选取（容许重复选取）k元素建立多重集。

共有 ( n + k k ) {\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}} 个字符串包含k个1和n个零。

共有 ( n + 1 k ) {\displaystyle {\tbinom {n+1}{k}}} 个字符串包含k个1和n个零，且没有两个1相邻。

卡塔兰数是 ( 2 n n ) n + 1 {\displaystyle {\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}}

统计学中的二项式分布是 ( n k ) p k ( 1 − − --> p ) n − − --> k {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\!}

贝兹曲线的公式。

以多项式表达二项式系数

就任就非负整数k， ( t k ) {\displaystyle \scriptstyle {\binom {t}{k}}} 可表达为一多项式除以k!：

此为带有理数系数，变量是t的多项式，可对任意实数或复数t运算以得出二项式系数，此“广义二项式系数”见于牛顿广义二项式定理。

就任意k，多项式 ( t k ) {\displaystyle {\tbinom {t}{k}}} 可看成是惟一的k次多项式p(t)满足p(0) = p(1) = ... = p(k − 1) = 0 及 p(k) = 1.

其系数可以第一类斯特灵数表示，即：

( t k ) {\displaystyle {\tbinom {t}{k}}} 之导数可以对数微分计算：

以二项式系数为多项式空间之基底

在任何包含Q的域中，最多d阶的多项式有惟一的线性组合 ∑ ∑ --> k = 0 d a k ( t k ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}} 。系数ak是数列p(0), p(1), …, p(k)的第k差分，亦即：

整数值多项式

每一多项式 ( t k ) {\displaystyle {\tbinom {t}{k}}} 在整数参数时均是整数值（可在k上，用帕斯卡法则以归纳法证明）。故此，二项式系数多项式的整数线性组合亦为整数值。反之，(3.5)表达了任何整数值的多项式均是二项式系数多项式的整数线性组合。一般而言，对于一个特征0域K的任何子环R，在K[t]内的多项式在整数参数时之值均在R内当且仅当该多项式是一二项式系数多项式的R-线性组合。

整数值多项式 3t(3t + 1)/2 可表达作：

从t=1,2,3时 3t(3t + 1)/2 =6,21,45用帕斯卡矩阵的逆可算出：

这种二项式系数多项式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。

有关二项式系数的恒等式

关系式

阶乘公式能联系相邻的二项式系数，例如在k是正整数时，对任意n有：

( n + 1 k ) = ( n k ) + ( n k − − --> 1 ) {\displaystyle {\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}}

( n k ) = n k ( n − − --> 1 k − − --> 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}}

( n − − --> 1 k ) − − --> ( n − − --> 1 k − − --> 1 ) = n − − --> 2 k n ( n k ) . {\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.}

两个组合数相乘可作变换：

一阶求和公式

∑ ∑ --> r = 0 n ( n r ) = 2 n {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}}

∑ ∑ --> r = 0 k ( n + r − − --> 1 r ) = ( n + k k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}}

∑ ∑ --> r = 0 n − − --> k ( − − --> 1 ) r ( n + 1 ) k + r + 1 ( n − − --> k r ) = ( n k ) − − --> 1 {\displaystyle \sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}}

∑ ∑ --> r = 0 n ( d n d r ) = 1 d ∑ ∑ --> r = 1 d ( 1 + e 2 π π --> r i d ) d n {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}}

∑ ∑ --> r = 0 n r m ( n r ) = n ( n + 1 ) ⋯ ⋯ --> ( n + m − − --> 1 ) 2 n − − --> m {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}r^{m}{\binom {n}{r}}=n(n+1)\cdots (n+m-1)2^{n-m}}

∑ ∑ --> i = m n ( a + i i ) = ( a + n + 1 n ) − − --> ( a + m m − − --> 1 ) {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {a+i}{i}}={\binom {a+n+1}{n}}-{\binom {a+m}{m-1}}}

F n = ∑ ∑ --> i = 0 ∞ ∞ --> ( n − − --> i i ) {\displaystyle F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}}

∑ ∑ --> i = m n ( i a ) = ( n + 1 a + 1 ) − − --> ( m a + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}}

二阶求和公式

∑ ∑ --> r = 0 n ( n r ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}}

∑ ∑ --> i = 0 n ( r 1 + n − − --> 1 − − --> i r 1 − − --> 1 ) ( r 2 + i − − --> 1 r 2 − − --> 1 ) = ( r 1 + r 2 + n − − --> 1 r 1 + r 2 − − --> 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}}

∑ ∑ --> i = 0 k ( n i ) ( m k − − --> i ) = ( n + m k ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}}

三阶求和公式

( n + k k ) 2 = ∑ ∑ --> j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − − --> j 2 k ) {\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}

参考文献

Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer (2003).Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof, Mathematical Association of America.

Bryant, Victor. Aspects of combinatorics. Cambridge University Press. 1993. ISBN 0521419743. 

Flum, Jörg; Grohe, Martin.Parameterized Complexity Theory. Springer. 2006. ISBN 978-3-540-29952-3. 

Fowler, David. The Binomial Coefficient Function. The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). January 1996, 103 (1): 1–17. JSTOR 2975209. doi:10.2307/2975209. 

Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics Second. Addison-Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5. 

Higham, Nicholas J. Handbook of writing for the mathematical sciences. SIAM. 1998: 25. ISBN 0898714206. 

Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms Third. Addison-Wesley. 1997: 52–74. ISBN 0-201-89683-4. 

Singmaster, David. Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients. J. London Math. Soc. (2). 1974, 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555. 

Shilov, G. E. Linear algebra. Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187. 

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