符号史

正弦的符号为sin，取自拉丁文sinus。该符号最早由瑞士数学家欧拉所使用。

定义

直角三角形中

直角三角形，∠C为直角，∠A 的角度为 θ θ --> {\displaystyle \theta } ， 对于 ∠A 而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角∠A 的 正弦 定义为它的对边与斜边的比值，也就是：

直角坐标系中

设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， P ( x , y ) {\displaystyle P\left({x,y}\right)} 是角的终边上一点， r = x 2 + y 2 > 0 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0} 是P到原点O的距离，则α的正弦定义为：

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的 y 坐标等于sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sin θ = y /1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2π或小于−2π的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数：

对于任何角度θ和任何整数 k 。

级数定义

正弦函数(蓝色)被对中心为原点的全圆的它的5次泰勒级数(粉红色)紧密逼近。

微分方程定义

由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足初值问题

这就是正弦的微分方程定义。

指数定义

正弦函数的指数定义可由欧拉公式导出：

恒等式

用其它三角函数来表示正弦

两角和差公式

二倍角公式

三倍角公式

半角公式

和差化积公式

万能公式

含有正弦的积分

特殊值

正弦定理

正弦定理 说明对于任意三角形，它的边是 a , b 和 c 而相对这些边的角是 A , B 和 C ，有：

也表示为：

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理现的公共数 (sin A )/ a 是通过 A , B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。

参见

余弦

正切

三角学

三角函数

正弦波

参考文献

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