两分法悖论

运动是不可能的。

由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。

这里的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。从A到B的运动如果发生在无限长的时间内，那么悖论就为真，因为此时速度为0。

速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间，但是速度是一个自然界的固有概念，并不依赖于时间和距离。所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述，而不是悖论。

阿基里斯悖论

常见的叙述为追着乌龟的阿基里斯，本悖论因此得其名。

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999..., 1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999..., 但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0, 或1-0.999...>0”思想。

悖论的解决

理论说得头头是道，但为何实际却不是如此? 原因见下。

不妨令阿基里斯步行的速度为每秒10m, 乌龟爬行的速度为每秒0.1m, 并且在比赛之前, 阿基里斯让乌龟先爬999m, 在这种条件下, 阿基里斯追赶乌龟所用的时间为:

这些数字, 按其先后排列, 可以构成一个无限序列:

所以其实阿基里斯只要跑101秒，即可超越乌龟。 换个角度说，阿基里斯之所以追不上乌龟，原因在题目的背面－－－小前提“由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。”－－－已经限制了阿基米斯追赶的距离。 因此会得到无限的时间序列。

求极限值

追乌龟亦涉及到极限是否存在的问题。譬如说，阿基里斯的速度改为10m/s，乌龟的速度是1m/s,乌龟原先在阿基里斯前面0.9m。进行上述步骤后，总共所花的时间应表示为 t = 0.9 + 0.09 + 0.009 + . . . = 0.999... {\displaystyle t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...} 。

其一，关于极限这个无限过程的意义，涉及到实无限（英语：Actual infinity）与潜无限（英语：Actual infinity）（potential infinity）的讨论。潜无限的性质是无限过程无法完成，故上述级数虽然能无限逼近1，但不能说是等于1──故没有一个时间点(若有，必须是1)能代表乌龟被追上的时间。在潜无限的框架下，可以假设空间无法无限分割，如此一来此悖论就不存在了。但实无限的理论是，无限过程可以完成，即逼近的过程与其极限等价，故乌龟可以追上。现在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。

其二，关于要如何找到该无限过程的极限，欧拉曾提出“ 0.9999999999 ⋯ ⋯ --> = 1 {\displaystyle 0.9999999999\dots =1} ”之证明如下：

欧拉一生中曾多次在其理论中进行这类极限的运算，然而他未能解释极限的存在性与加减乘除等运算，可谓有着逻辑上的漏洞。而近代数学的极限、实数等概念正能填其逻辑漏洞。

飞矢不动悖论

一支飞行的箭是静止的。

由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。

但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能，所以箭必须是运动状态

这个悖论的问题在于，“飞行”的运动，是依赖于两个时间点的。即从这一刻到那一刻的时间内，这支箭是否移动。

队伍悖论

首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席Ａ，列队Ｂ、Ｃ将分别各向右和左移动一个距离单位。

Ｂ、Ｃ两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席Ａ，Ｂ和Ｃ分别向右和左各移动了一个距离单位。

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

（四个悖论的叙述引自莫里斯·克莱因《古今数学思想》中译本，Bill Smith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。）

芝诺现象

在一个跟时间有关的系统中，如果牵涉到有限时间内，无限多次的操作，我们会称之芝诺现象或芝诺行为。一个简单的例子是球在地面上反弹到停止的过程。处理这个问题的方法，是直接假设停止的时间点，只考虑反弹，不去考虑无穷多次，以计算无穷多次反弹之后的结果。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。