解释

直流电场

德鲁德模型最简单的分析，假设了电场 E {\displaystyle \mathbf {E} } 既是均匀的又是恒定的，且电子的热速度足够大，使得它们在碰撞之间仅仅积累了无穷小的动量 d p {\displaystyle d\mathbf {p} } ，这平均每隔 τ τ --> {\displaystyle \tau } 秒发生一次。

于是，在时间 t {\displaystyle t} 分离的电子自从它最后一次碰撞将平均运动了 τ τ --> {\displaystyle \tau } 秒，因此将积累了动量：

在它最后一次碰撞期间，这个电子向前面反弹的机会将刚刚与向后面反弹的机会相等，因此所有对电子动量的之前的贡献都可以忽略，便得到表达式：

代入以下关系：

便得出上面提到的欧姆定律的表述：

时变分析

电子的运动也可以通过引入一个有效的阻力来描述。在时间 t = t 0 + d t {\displaystyle t=t_{0}+dt} ，电子的平均动量将为：

由于平均来说， ( 1 − − --> d t / τ τ --> ) {\displaystyle (1-dt/\tau )} 个电子将不经历另外一次碰撞，而那些经历另外一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献。

经过一番计算，便得出以下的微分方程：

其中 〈 〈 --> p 〉 〉 --> {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle } 表示平均动量，m表示有效质量，q表示电子的电荷。这是一个非齐次微分方程，它的通解为：

于是，稳态解（ d d t 〈 〈 --> p 〉 〉 --> = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =0} ）为：

像上面一样，平均动量可以与平均速度有关，而这又可以与电流密度有关：

于是可以证明，物质满足欧姆定律，其直流电电导率为 σ σ --> 0 {\displaystyle \,\sigma _{0}} ：

德鲁德模型还可以预言在角频率为 ω ω --> {\displaystyle \,\omega } 的时变电场的响应下的电流，在这种情况下：

这里假设了

还存在另一种惯例，所有方程中的 i {\displaystyle \,i} 都用 − − --> i {\displaystyle \,-i} 来代替。虚数部分表示电流落后于电场，这是由于电子大约需要时间 τ τ --> {\displaystyle \,\tau } 来对电场的变化作出响应。这里德鲁德模型是应用于电子的；它既可以应用于电子，又可以应用于空穴，也就是说，半导体中的正电荷载流子。

模型的准确性

这个简单、经典的德鲁德模型提供了金属中的直流电和交流电传导、霍尔效应，以及热传导的非常好的解释。这个模型也解释了1853年发现的魏德曼-弗朗茨定律。然而，它大大高估了金属的电子热容。实际上，金属和绝缘体在常温下的热容大致上相等。虽然模型可以应用于正电荷（空穴）载流子，像霍尔效应所验证的那样，它并不预言它们的存在。

德鲁德在最初的论文中犯了一个概念性的错误，他估计电导率仅有实际值的一半。

参见

自由电子模型

阿诺·索末菲

经典和量子传导

电导率

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