历史

根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在西汉后期已经基本定型。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。

1984年，在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系 ，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。

由于《九章算术》中只是列出了例子及一般的算法，却很少有任何解释和说明，所以有很多人曾为《九章算术》作注，提出了简括的证明，证明了些算法的正确性。较为著名的有在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》作注，加上自己心得体会，使其便于了解，可以流传下来 。唐代李淳风又重新做注（656年），作为《算经十书》之一 ，作为国子监算学馆的教材和明算科的考试项目。

体例

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。

方田章：主要是田亩 面积 的计算和 分数 的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作 。

粟米章：主要是粮食 交易 的计算方法，其中涉及许多 比例 问题 。

衰分章：主要内容为 分配比例 的算法 。

少广章：主要讲开平方和开立方的方法 。

商功章：主要是土石方和用工量等 工程数学 问题，以 体积 的计算为主 。

均输章：计算 税收 等更加复杂的 比例 问题 。

盈不足章： 双设法 的问题 。

方程章：主要是 联立一次方程组 的解法和 正负数的加减法 ，在世界数学史上是第一次出现 。

勾股章： 勾股定理 的应用 。

内容

实数系统

《九章算术》对自然数即正整数及其运算没有给予论述，但却加以广泛应用，以自然数的基础上编写。虽然不是论述分数的专书，但是对于分数的意义、性质、四则运算论述完备。例如：约分术、合分术（加法）、减分术（减法）、乘分术（乘法）、经分术（除法）、课分术（比较大小）与平分术（平均数） 。

《九章算术》出现负数概念，方程章为了配合方程术的算法，给出正负数的加、减法则。减法为“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”。加法为“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。其中“除”是减，“益”是加，“无入”是指没有对方，不过乘除法并未记载 。

《九章算术》对自然数、分数、正负数以及一些特殊无理无给予一定的论述，基本上具备实数系统的雏形 。

比例与盈亏算法

粟米章所述今有术，即是四项比例算法，按术文“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一” 。

今有术在《九章算术》应用非常广泛，为一种解题的基本算法。另一种常用的算法是衰分章的衰分术，为配分比例算法。其术文为：“各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一” 。

《九章算术》以列衰的倒数为列衰，称为反衰术。反衰术就是衰分术与反比例相结合的算分。而衰分术与反衰术相结合的算法，就是均输章的均输术。《九章算术》不但有正比例算法、而且还有反比例算法、复比例算法、连比例算法以及配分比例算法。这些算法都是以今有术为基础，发展而汇集起来的各种算法 。

盈不足术是中国古代一种解算术难题的算法。一般算术应用题，都有确切答案。盈不足术为了推算答案，预先设立一个数字作为答案，依题目核算，若结果合问题，所设之数就是答案；若不合问，非盈即不足；通过两次假设，即可利用盈不足术求出答案。这类问题共有五种，即一盈一不足，两盈、两不足、一盈一适足、一不足一适足。《九章算术》则汇集这五种问题，并给出算法 。

盈不足章除了拥有算术应用问题外，还包括一些初等超越方程问题，用这种模式算法解出前一类问题得到确切解，用以解后一类问题则得近似解 。

求积与勾股

《九章算术》论述的几何图形，多为直线型和圆型的图形，根据算田亩的需要，《九章算术》论述方田、圭田、邪田、箕田、圆田、弧田、环田及宛圆的面积算法。另外由于土木建筑的需要，《九章算术》还有论述直线型立体和圆型立体图形的体积算法，这些体积算法的编排，由简单到复杂，形成独特的理论体系 。

勾股计算，《九章算术》分为四类问题。有勾股互求、勾股整数、勾股两容、勾股相似 。

勾股互求，即是已知勾股的一般线线，推求其他线段。勾股整数，即是《九章算术》给出推求勾、股、弦，都是整数的算法。勾股两容，为推求勾股形内接正方形及内切圆的算法。勾股相似，为利用相似勾股形性质，进行简单测远、测高的算法 。

《九章算术》对几何问题的处理，分为三部分，有体积算法、面积算法、线段算法，分别隶属于商功、方田、勾股三章 。

开方与方程

《九章算术》列出的平方术、开立方术以及线性方程组的解法，可以看作中国古代代数学的主要内容。《九章算术》记载的这些算法非常详尽，经由这些论述，可以了解中国古代代数学发展的成果 。

开平方术、开立方术，不但可以解出二项二次方程、二项三次方程，而且可以解出一般的二次数值方程和三次数值方程。它是中国古代解出高次数值方程的基础，在数学的发展也有重要地位 。

方程章所论“方程”，地位相当于今天线性方程组。所论“方程术”，为所谓“直除法”。“直除”是连续相减的意思或累减的意思，“直除法”为连续相减消元法，在理论上、算法上与今天加减消元完全一样 。

在方程章所列十八题中，有的相当于二元一次方程组，有的相当于三元一次方程组，也有的相当于五元一次方程组。其中第十三题为：“今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深，绠长各几何”。所问是六个未知数之值，依题意只能列出五个一次方程，可见这是世界上最早的一次不定方程组 。

影响

九章算术影宋本

《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作 。

《九章算术》问世之前的中国先秦典籍中，记录了不少数学知识，但是却没有《九章算术》的系统论述，尤其是由易到难、由浅入深、从简单到复杂的编排体例，从而形成中国传统数学的理论体系。因而后世的中国数学家，都是从此开始学习和研究，唐、宋时，为国家明令规定的教科书，北宋时由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本数学书 。

《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。

《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。

《九章算术》隋、唐时，流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响，之后更远传到印度、阿拉伯和欧洲，现已译成日、俄、英、法和德等多种文字版本 。

译本

俄译本：«Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. 1957.

德译本：Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968

英译本：The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen（沈康生）, John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press

法译本：Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod.

日译本： 川原秀城译注 九章算术 朝日出版社 1980

参考文献

郭书春 译注 《九章算术》 上海古籍出版社 2009 ISBN 978-7-5325-5433-1

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