动力方程

关于微分方程的很多结果能够轻而易举地延伸到差分方程中相对应的结果，然而其他的一些结果却在二者中看起来非常不同。。时标动力方程的研究揭示了这种差异，并且有助于避免将类似的结果证明两次——在微分方程中证明一次，在差分方程中又证明一次。一般的想法是证明一个动力方程的结果，其中未知函数的定义域叫做时标（又叫做时集），它可以是实数集中的任意闭子集。用这种方式定义以后，结果就不仅能应用于实数集或者整数集，还能应用在更一般的时标，例如康托尔集。时标的最广泛的三种应用是微分学、有限差分和量子微积分。时标动力方程在诸如群族动力学等领域有潜在应用。例如，我们可以建立一种昆虫的种群模型，在生长季节种群数量是连续变化的，在冬季这种昆虫死亡，但是它们的卵处在孕育或者休眠的状态，然后在春季孵化出来，进而导致了一个不重叠的种群数量。

精确定义

时标或称度量链T{\displaystyle \mathbb {T} }是实数轴R{\displaystyle \mathbb {R} }上的闭子集。定义：

令t{\displaystyle t}为T{\displaystyle \mathbb {T} }中的一个元素。那么t{\displaystyle t}为：

(其中R{\displaystyle \mathbb {R} }可以是任何巴拿赫空间，但为简单起见令其为实数轴）。定义：广义导数fΔ Δ -->(t){\displaystyle f^{\Delta }(t)} 对于任意的ϵ ϵ -->>0{\displaystyle \epsilon >0}，存在t{\displaystyle t}的一个邻域U{\displaystyle U}使得：

对于任意的s∈ ∈ -->T{\displaystyle s\in T}。令T=R{\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }。那么σ σ -->(t)=t{\displaystyle \sigma (t)=t}，μ μ -->(t)=0{\displaystyle \mu (t)=0}；fΔ Δ -->=f′{\displaystyle f^{\Delta }=f"}是用于标准微积分中的导数。令T=Z{\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} } (整数集），那么σ σ -->(t)=t+1{\displaystyle \sigma (t)=t+1}，μ μ -->(t)=1{\displaystyle \mu (t)=1}，fΔ Δ -->=Δ Δ -->f{\displaystyle f^{\Delta }=\Delta f}是用在差分方程中的前移差分算子。

拉普拉斯变换和Z变换

稍微修改一下Z变换，就可以得到一个用于差分方程的Z* 变换，它使用与用于微分方程的拉普拉斯变换相同的表格。这种变换现在应用于所有的时标动力方程，而不仅仅用于整数或实数。

请参见

康托尔集动力方程的分形分析（英语：Analysis on fractals）。

延伸阅读

计算和应用数学期刊的特别文章（英文）

时标- 贝勒大学时标研究组（英文）

动力方程和应用- 差分方程特殊问题的研究进展（英文）

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