表面积

有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积A{\displaystyle A}，等于曲线的长度s{\displaystyle s}乘以曲线的几何中心经过的距离d1{\displaystyle d_{1}}：A=sd1{\displaystyle A=sd_{1}}。

例：设环面圆管半径为r{\displaystyle r}，圆管中心到环面中心距离为R{\displaystyle R}，把环面看成上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为(2π π -->r)(2π π -->R)=4π π -->2rR{\displaystyle (2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}rR}

若有平面连续曲线y=f(x){\displaystyle y=f(x)}，求x{\displaystyle x}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}时，曲线以x{\displaystyle x}轴旋转所得的曲面表面积。可考虑一小段曲线，其几何中心便是y{\displaystyle y}，曲线长度为1+(dydx)2{\displaystyle {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}}，因此这个曲面的表面积便是：

体积

由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积V{\displaystyle V}，等于平面形状面积S{\displaystyle S}乘以平面形状的几何中心经过的距离d1{\displaystyle d_{1}}的积：V=Sd1{\displaystyle V=Sd_{1}}。

再考虑一般平面曲线下的面积的情况，可得旋转体体积V=π π -->∫ ∫ -->aby2dx{\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\;\mathrm {d} x}。

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