有限置换群

各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。

称 X 上的对称群是S n 。 X 上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，S n 有n !个元素。对 n > 2，S n 阿贝尔群贝尔群。当且仅当 n ≤ 4时，S n 是可解群。对称群的子群称为置换群（en:permutation group）。

置换的乘积

对称群中，两个置换的乘积就是作为双射的复合，只不过省略了符号"o"。例如：

f 与 g 的复合应先适用 g ，其后适用 f 。那么，1将首先被变换成2然后再由2指向它自己; 2被变换成5，然后被变换成4; 3被变换成4，然后由4变成5，如此类推。所以， f 乘以 g 是：

容易证明长度为L = k·m 的轮换，的 k 次方会分解为 k 个长度为 m 的轮换。比如：

对换

对换 指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换，例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的 g = (1 2)(2 5)(3 4)。

由于 g 能被写成奇数个对换的乘积， g 是一个 奇置换 。与此相反的， f 是一个偶置换。

一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的，但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变，可以据此定义奇置换和偶置换。

两个偶置换的乘积是偶置换，两个奇置换的乘积是偶置换，奇置换和偶置换的乘积是奇置换，偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的 正负号 （sign）：

在这个定义下，

是一个群同态。({+1,-1}关于乘法构成群)，这个同态的同态核是所有的偶置换，称作n次交错群，记作A n 。它是S n 的正规子群，有 n ! / 2个元素。

置换的正负号也可以定义为：

其中n-O(n)表示置换 f 的 轮换指数 ，O(n)表示置换 f 的 轨道 （orbit）数。群S n 是A n 和由一个单一对换生成的任何子群的半直积。

轮换

轮换 指一种置换 f ，使得对集合{1,..., n }中的某个 x ， x , f ( x ), f ( x ), ..., f ( x ) = x 是 f 作用下不映射到自身的所有元素。比如说，以下的置换 h

就是一个轮换。因为 h (1) = 4, h (3) = 1， h (4) = 3。2，5不变。我们将这个轮换记作(1 4 3)，它的长度是3。轮换的阶数等于它的长度。如果两个轮换移动的元素皆不相同，则称它们 不交 。不交的轮换是可交换的，例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每个S n 中的元素都可以写成若干个互不相交的轮换的乘积。如果不计轮换的排列次序，这种表示是唯一的。

共轭类

S n 的共轭类是对于置换轮换表达的结构来说的。两个置换共轭，当且仅当在它们的轮换表达中，轮换的数量以及长度都相等。比如说，在S 5 中， (1 2 3)(4 5)与(1 4 3)(2 5)共轭，但不与(1 2)(4 5)共轭。

凯莱定理

推论：任意有限群都与某个置换群同构。

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