定义

中心化子

群 G 的一个元素 a 的 中心化子 （记作 C G ( a )）是 G 的和 a 可交换的元素的集合；换句话说，C G ( a ) = { x 属于 G : xa = ax }。若 H 为 G 的子群，则C H ( a ) = C G ( a ) ∩ H 。如果没有歧义，则可以将C G ( a )记作C( a )。

更一般地，令 S 为 G 的任意子集（不必是子群）。则 S 在 G 中的中心化子定义为C( S ) = { x 属于 G ：对于所有 s 属于 S , xs = sx }。若 S = { a }，则C( S ) = C( a )。

C( S )是 G 的子群；因为若 x 、 y 属于 C( S ) ，则对每个 s 属于 S ， xy s = xsy = sxy 。于是 xy 属于 C( S )。

群的中心

群 G 的 中心 是C G ( G )，通常记作Z( G )。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将 a 的中心化子视作最大的（用包含关系为序） G 的子群 H ，满足 a 属于其中心Z( H )的条件。

正规化子

一个相关的概念是， S 在 G 中的 正规化子 ，记作N G ( S )或者N( S )。正规化子定义为N( S ) = { x 属于 G : xS = Sx }。同样的是，N( S )可以视作 G 的子群。正规化子的名字来源于如果我们令为一个由 S 生成的子群，则N( S )是最大的满足包含为其正规子群的 G 的子群。在其中为正规闭包的最小的 G 的子群称为共轭闭包。

G 的子群 H 称为 G 的 子正规化子群 ，如果N G ( H ) = H .

性质

若 G 是交换群，则任何 G 的子集的中心化子和正规化子就是 G 的全部；特别是，一个群可交换，当且仅当Z( G ) = G 。

若 a 和 b 是 G 的任意元素，则 a 在C( b )中，当且仅当 b 在C( a )中，这有当且仅当 a 和 b 可交换。 若 S = { a }则N( S ) = C( S ) = C( a )。

C( S )总是N( S )的正规子群：若 c 属于C( S )而 n 属于N( S )，我们要证明 n cn 属于C( S )。为此，取 s 属于 S 并令 t = nsn 。则 t 属于 S ，所以 ct = tc 。注意到 ns = tn ；以及 n t = sn 。我们有

这也就是要证明的命题。

若 H 是 G 的子群，则 N/C定理 表明因子群N( H )/C( H )同构于Aut( H )（ H 的自同构群）的子群。

因为N G ( G ) = G ，N/C定理也意味着 G /Z( G )同构于Inn( G )（由所有 G 的内自同构组成的Aut( G )的子群）。

如果我们通过 T ( x )( g ) = T x ( g ) = xgx 定义群同态 T : G → Inn( G )，则我们可以用Inn("G")在 G 上的群作用来表述N( S )和C( S )： S 在Inn( G )中的定点子群就是 T (N( S ))，而Inn( G )中固定 S 的子群就是 T （C( S )）。

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