算法

增量式算法

逐次将点加入，然后检查之前的点是否在新的凸包上。由于每次都要检查所有之前的点，时间复杂度为O(n2){\displaystyle O(n^{2})}。

包裹法（Jarvis步进法）

首先由一点必定在凸包的点开始，例如最左的一点A1{\displaystyle A_{1}}。然后选择A2{\displaystyle A_{2}}点使得所有点都在A1A2{\displaystyle A_{1}A_{2}}的右方，这步骤的时间复杂度是O(n){\displaystyle O(n)}，要比较所有点以A1{\displaystyle A_{1}}为原点的极坐标角度。以A2{\displaystyle A_{2}}为原点，重复这个步骤，依次找到A3,A4,...,Ak,A1{\displaystyle A_{3},A_{4},...,A_{k},A_{1}}。这总共有k{\displaystyle k}步。因此，时间复杂度为O(kn){\displaystyle O(kn)}。

葛立恒（Graham）扫描法

由最底的一点A_1开始（如果有多个这样的点，那么选择最左边的），计算它跟其他各点的连线和x轴正向的角度，按小至大将这些点排序，称它们的对应点为A2,A3,...,An{\displaystyle A_{2},A_{3},...,A_{n}}。这里的时间复杂度可达O(nlog⁡ ⁡ -->n){\displaystyle O(n\log {n})}。

考虑最小的角度对应的点A3{\displaystyle A_{3}}。若由A2{\displaystyle A_{2}}到A3{\displaystyle A_{3}}的路径相对A1{\displaystyle A_{1}}到A2{\displaystyle A_{2}}的路径是向右转的（可以想象一个人沿A1{\displaystyle A_{1}}走到A2{\displaystyle A_{2}}，他站在A2{\displaystyle A_{2}}时，是向哪边改变方向），表示A3{\displaystyle A_{3}}不可能是凸包上的一点，考虑下一点由A2{\displaystyle A_{2}}到A4{\displaystyle A_{4}}的路径；否则就考虑A3{\displaystyle A_{3}}到A4{\displaystyle A_{4}}的路径是否向右转……直到回到A1{\displaystyle A_{1}}。

这个算法的整体时间复杂度是O(nlog⁡ ⁡ -->n){\displaystyle O(n\log {n})}，注意每点只会被考虑一次，而不像Jarvis步进法中会考虑多次。

这个算法由葛立恒在1972年发明。它的缺点是不能推广到二维以上的情况。

单调链

将点按x坐标的值排列，再按y坐标的值排列。

选择x坐标为最小值的点，在这些点中找出y坐标的值最大和y坐标的值最小的点。对于x坐标为最大值也是这样处理。将两组点中y坐标值较小的点连起。在这条线段下的点，找出它们之中y坐标值最大的点，又在它们之间找x坐标值再最小和最大的点……如此类推。

时间复杂度是O(nlog⁡ ⁡ -->n){\displaystyle O(n\log {n})}。

分治法

将点集X分成两个不相交子集。求得两者的凸包后，计算这两个凸包的凸包，该凸包就是X的凸包。时间复杂度是O(nlog⁡ ⁡ -->n){\displaystyle O(n\log {n})}。

快包法（Akl-Toussaint启发式）

选择最左、最右、最上、最下的点，它们必组成一个凸四边形（或三角形）。这个四边形内的点必定不在凸包上。然后将其余的点按最接近的边分成四部分，再进行快包法（QuickHull）。

各种星形多面体的凸包

应用

图象处理

模式识别

地理信息系统

参考

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0262032937. Pages 955–956 of section 33.3: Finding the convex hull.

The Convex Hull of a 2D Point Set or Polygon, by Dan Sunday

参见

Carathéodory定理

Delaunay三角化

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