时间演化算符

定义

时间演化算符 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,\,t_{0})} 定义为

其中，右矢 | ψ ψ --> ( t ) ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi (t)\rangle } 表示时间为 t {\displaystyle t} 的态矢量， U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,\,t_{0})} 是时间演化算符，从时间 t {\displaystyle t} 演化到时间 t 0 {\displaystyle t_{0}} 。

这方程可以做这样解释：将时间演化算符 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,\,t_{0})} 作用于时间是 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的态矢量 | ψ ψ --> ( t 0 ) ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle } ，则会得到时间是 t {\displaystyle t} 的态矢量 | ψ ψ --> ( t ) ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi (t)\rangle } 。

类似地，也可以用左矢 ⟨ ⟨ --> ψ ψ --> | {\displaystyle \langle \psi |} 来定义：

其中，算符 U † † --> {\displaystyle U^{\dagger }} 是算符 U {\displaystyle U} 的厄米共轭。

性质

幺正性

由于态矢量必须满足归一条件，态矢量的范数不能随时间而变：

可是，

所以，时间演化算符必须是幺正算符。

其中， I {\displaystyle I} 是单位算符。

单位性

时间演化算符 U ( t 0 , t 0 ) {\displaystyle U(t_{0},\,t_{0})} 必须是单位算符 U ( t 0 , t 0 ) = I {\displaystyle U(t_{0},\,t_{0})=I} ，因为，

闭包性

从初始时间 t 0 {\displaystyle t_{0}} 到最后时间 t {\displaystyle t} 的时间演化算符，可以视为从中途时间 t 1 {\displaystyle t_{1}} 到最后时间 t {\displaystyle t} 的时间演化算符，乘以从初始时间 t 0 {\displaystyle t_{0}} 到中途时间 t 1 {\displaystyle t_{1}} 的时间演化算符 ：

根据时间演化算符的定义，

所以，

可是，再根据定义，

所以，时间演化算符必须满足闭包性：

时间演化算符的微分方程

为了方便起见，设定 t 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0} ，初始时间 t 0 {\displaystyle t_{0}} 永远是 0 {\displaystyle 0} ，则可忽略时间演化算符的 t 0 {\displaystyle t_{0}} 参数，改写为 U ( t ) {\displaystyle U(t)} 。含时薛定谔方程为

其中， H {\displaystyle H} 是哈密顿量。

从时间演化算符的定义式，可以得到

由于 | ψ ψ --> ( 0 ) ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi (0)\rangle } 可以是任意恒定态矢量（处于 t = 0 {\displaystyle t=0} 的态矢量），时间演化算符必须遵守方程

假若哈密顿量不含时，则这方程的解答为

注意到在时间 t = 0 {\displaystyle t=0} ，时间演化算符必须约化为单位算符 U ( 0 ) = I {\displaystyle U(0)=I} 。由于 H {\displaystyle H} 是算符，指数函数 e − − --> i H t {\displaystyle e^{-iHt}} 必须泰勒其泰勒级数计算：

按照时间演化算符的定义，在时间 t {\displaystyle t} ，态矢量为

注意到 | ψ ψ --> ( 0 ) ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi (0)\rangle } 可以是任意态矢量。假设初始态矢量 | ψ ψ --> ( 0 ) ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\psi (0)\rangle } 是哈密顿量的本征态，而本征值是 E {\displaystyle E} ，则在时间 t {\displaystyle t} ，态矢量为

这样，可以看到哈密顿量的本征态是定态，随着时间的流易，只有相位因子在进行演化。

假设，哈密顿量与时间有关，但在不同时间的哈密顿量相互对易，则时间演化算符可以写为

假设，哈密顿量与时间有关，而在不同时间的哈密顿量不相互对易，则时间演化算符可以写为

其中， T {\displaystyle T} 是时间排序算符。

必须用 戴森级数 （ 英语 ： Dyson series ） 来表示，

各种绘景比较摘要

为了便利分析，位于下标的符号 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 、 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 分别标记海森堡绘景、相互作用绘景、薛定谔绘景。

各种绘景随着时间流易会呈现出不同的演化：

参阅

哈密顿-亚可比方程

参考文献

Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics 2. Springer. 1994. ISBN 978-0306447907.

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