定义

固定概形 V,W{\displaystyle V,W}。考虑所有的资料 (U,f){\displaystyle (U,f)}，其中 U⊂ ⊂ -->V{\displaystyle U\subset V} 是稠密开集，而 f:U→ → -->W{\displaystyle f:U\to W} 是态射；这些资料代表了 U{\displaystyle U} 上“部分定义”的态射，U{\displaystyle U} 代表 f{\displaystyle f} 的定义域。定义下述等价关系：

此外，注意到稠密性保证 U∩ ∩ -->U′{\displaystyle U\cap U"} 也是 V{\displaystyle V} 中的稠密开集。当 V{\displaystyle V} 不可约，则所有非空开集都是稠密的。若再假设 V{\displaystyle V} 既约而 W{\displaystyle W} 是分离概形，则任一等价类有唯一一个定义域最大的代表元。

从概形 V{\displaystyle V} 到 W{\displaystyle W} 的有理映射f{\displaystyle f} 是其中的一个等价类 [U,f]{\displaystyle [U,f]}。

若 f{\displaystyle f} 是从 U{\displaystyle U} 到 V{\displaystyle V}，g{\displaystyle g} 是从 V{\displaystyle V} 到 W{\displaystyle W} 的有理映射，则一般并不能定义其合成 g∘ ∘ -->f{\displaystyle g\circ f}。但是当 f{\displaystyle f} 的像（对某个，因而对每个代表元 (U0,fU0){\displaystyle (U_{0},f_{U_{0}})}）在 V{\displaystyle V} 中稠密时，对每个 g{\displaystyle g} 的代表元 (V0,gV0){\displaystyle (V_{0},g_{V_{0}})}，fU0(U0)∩ ∩ -->V0{\displaystyle f_{U_{0}}(U_{0})\cap V_{0}} 皆非空，此时可以定义 g∘ ∘ -->f:=[fU0− − -->1(V0),gV0∘ ∘ -->fU0]{\displaystyle g\circ f:=[f_{U_{0}}^{-1}(V_{0}),g_{V_{0}}\circ f_{U_{0}}]}。

同理，若 V{\displaystyle V} 与 W{\displaystyle W} 都是 S{\displaystyle S} 上的概形，也可以类似地定义 S{\displaystyle S}-有理映射。

例子

设 k{\displaystyle k} 为整环，设 V:=Akn{\displaystyle V:=\mathbb {A} _{k}^{n}}、W:=Akm{\displaystyle W:=\mathbb {A} _{k}^{m}}，则从 V{\displaystyle V} 到 W{\displaystyle W} 的任何有理映射 f{\displaystyle f} 有唯一的表法：

其中 fi,gi{\displaystyle f_{i},g_{i}} 是多项式。该有理映射可以在 Akn∖ ∖ -->⋃ ⋃ -->i{gi=0}{\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}\setminus \bigcup _{i}\{g_{i}=0\}} 上定义。

此外，对于不可约 k{\displaystyle k}-概形 X{\displaystyle X}，其上的有理函数一一对应到从 X{\displaystyle X} 到 Pk1{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}} 的有理映射。

优势映射与双有理等价

之前考虑合成问题时，曾利用像的稠密性条件；满足该条件的有理映射称为优势映射。由于优势映射可以作合成，定义从概形 V{\displaystyle V} 到 W{\displaystyle W} 的双有理等价为一个优势映射 f{\displaystyle f}，使得存在另一个从 W{\displaystyle W} 到 V{\displaystyle V} 的优势映射 g{\displaystyle g}，使 f∘ ∘ -->g=idW{\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{W}}、g∘ ∘ -->f=idV{\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{V}}。

以下考虑域 k{\displaystyle k} 上的不可约代数簇及其间的 k{\displaystyle k}-有理映射。有理映射的地位在于：透过有理函数的“拉回”运算，代数簇之间的优势映射对应到函数域之间的映射，而双有理等价对应到函数域的同构。由此可知代数簇的双有理等价范畴等价于函数域的反范畴。

双有理等价的例子

双有理等价的定义较同构宽，因为我们容许态射在某维度较低的闭集上未定义。一个例子是 Pk2{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}} 与 X:xy− − -->wz=0⊂ ⊂ -->Pk3{\displaystyle X:xy-wz=0\subset \mathbb {P} _{k}^{3}}，两者双有理等价，而并不同构。原因如下：Pk2{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}} 中的任两条闭曲线都有交点，而在 X{\displaystyle X} 中，w=x=0{\displaystyle w=x=0} 与 y=z=0{\displaystyle y=z=0} 不相交，因而 X{\displaystyle X} 与 Pk2{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}} 并不同构。

另一方面，X{\displaystyle X} 的函数域可以在仿射开集 w≠ ≠ -->0{\displaystyle w\neq 0} 上计算，此开集的座标环是 k[x,y,z]/(xy− − -->z)≃ ≃ -->k[x,y]{\displaystyle k[x,y,z]/(xy-z)\simeq k[x,y]}，其函数域是 k(x,y){\displaystyle k(x,y)}；这也是 Pk2{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}} 的函数域，于是二者双有理等价。若细审上述论证，事实上能写出所求双有理等价的式子。

参见

双有理几何

文献

Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （French）. 引文格式1维护：未识别语文类型 (link) 引文格式1维护：冗余文本 (link)

Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 （英语）. 

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