一般形式

琴生不等式可以用测度论或概率论的语言给出。这两种方式都表明同一个很一般的结果。

测度论的版本

假设μ μ -->{\displaystyle \mu }是集合Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }的正测度，使得μ μ -->(Ω Ω -->)=1{\displaystyle \mu (\Omega )=1}。若g{\displaystyle g}是勒贝格可积的实值函数，而φ φ -->{\displaystyle \varphi }是在g{\displaystyle g}的值域上定义的凸函数，则

概率论的版本

以概率论的名词，μ μ -->{\displaystyle \mu }是个概率测度。函数g{\displaystyle g}换作实值随机变数X{\displaystyle X}（就纯数学而言，两者没有分别）。在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }空间上，任何函数相对于概率测度μ μ -->{\displaystyle \mu }的积分就成了期望值。这不等式就说，若φ φ -->{\displaystyle \varphi }是任一凸函数，则

特例

概率密度函数的形式

假设Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是实数轴上的可测子集，而f(x){\displaystyle f(x)}是非负函数，使得

以概率论的语言，f{\displaystyle f}是个概率密度函数。

琴生不等式变成以下关于凸积分的命题：

若g{\displaystyle g}是任一实值可测函数，ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi }在g{\displaystyle g}的值域中是凸函数，则

若g(x)=x{\displaystyle g(x)=x}，则这形式的不等式简化成一个常用特例：

有限形式

若Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是有限集合{x1,x2,… … -->,xn}{\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}，而μ μ -->{\displaystyle \mu }是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：

其中λ λ -->1+λ λ -->2+⋯ ⋯ -->+λ λ -->n=1,λ λ -->i≥ ≥ -->0{\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=1,\lambda _{i}\geq 0}。

若ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi }是凹函数，只需把不等式符号调转。

假设x1,x2,… … -->,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}是正实数，g(x)=x{\displaystyle g(x)=x}，λ λ -->i=1/n{\displaystyle \lambda _{i}=1/n}及φ φ -->(x)=log⁡ ⁡ -->(x){\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}。上述和式便成了

两边取自然指数就得出熟悉的均值不等式：

这不等式也有无限项的离散形式。

统计物理学

统计物理学中，若凸函数是指数函数，琴生不等式特别重要：

其中方括号表示期望值，是以随机变数X的某个概率分布算出。这个情形的证明很简单（参见Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三个指数函数

套用不等式

即得出所求的不等式。

大学图徽

琴生不等式是哥本哈根大学的数学系图徽。

参考书目

Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. 

David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 1987. ISBN 0-19-504277-8. 

注释

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