定义

环(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个 右理想 ，若I满足：

(I, +)构成(R, +)的子群。

∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地，I称为R的 左理想 ，若以下条件成立：

(I, +)构成(R, +)的子群。

∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的 双边理想 ，简称R上的 理想 。

示例

整数环的理想：整数环 Z 只有形如 nZ 的理想。

一些结论

在环中，（左或右）理想的交和并仍然是（左或右）理想。

对于R的两个理想A，B，记 A B = { ∑ ∑ --> k = 0 n a k b k | a k ∈ ∈ --> A , b k ∈ ∈ --> B } {\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}} 。按定义不难证明：

如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。

如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。

如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

R的子集I是R的理想，若I满足：

∀a,b ∈ I，a - b∈I。

∀a ∈ I, r ∈ R，则a·r∈ I。

交换环的理想：交换环的理想都是双边理想。

除环的理想：除环中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

生成理想

如果A是环R的一个非空子集，令 =RA+AR+RAR+ZA，则是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想，A称为生成元集。同群的生成子群类似，是R中所有包含A的理想的交，因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

当R是交换环时， =RA+ZA

当R是有单位元1的环时， =RAR

当R是有单位元的交换环时， =RA

主理想

设集合A = {a 1 ,a 2 ,...,a n }，则记 =1,a 2 ,...,a n >，称 ⟨ A ⟩ {\displaystyle \left\langle A\right\rangle } 是有限生成理想。特别当 A = { a } {\displaystyle A=\left\{a\right\}} 是单元素集时，称 ⟨ A ⟩ = ⟨ a ⟩ {\displaystyle \left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle } 为环R的主理想。注意 { a } {\displaystyle \left\{a\right\}} 作为生成元一般不是唯一的，如 ⟨ a ⟩ = ⟨ − − --> a ⟩ {\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle } 。 ⟨ a ⟩ {\displaystyle \left\langle a\right\rangle } 的一般形式是：

如果是交换环，则 ⟨ a ⟩ = { s a + n a | s ∈ ∈ --> R , n ∈ ∈ --> Z } {\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\}}

如果是有单位元的环，则 ⟨ a ⟩ = { ∑ ∑ --> k = 1 m x k a y k | x k , y k ∈ ∈ --> R , m ∈ ∈ --> Z , m > 0 } {\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\}}

如果是有单位元的交换环，则 ⟨ a ⟩ = { s a | s ∈ ∈ --> R } {\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\}}

相关概念和结论

真理想 ：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的 真理想 。

极大理想 ：环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。

素理想 ：环R的真理想I被称为 素理想 ，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。

素环 ：若环R的零理想是素理想，则称R是 素环 （或 质环 ）。

准素理想 ：环R的真理想I。若∀R上的理想P，有P ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称I是R的 准素理想 。

参见

理想 (序理论)

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