广义黎曼猜想

狄利克雷L函数下的广义黎曼猜想最初可能是由皮尔茨（Piltz）于1884年提出的。与原始的黎曼猜想类似，该猜想对研究素数分布十分重要。

如查一个已知的狄利克雷特征χ，可以定义如下狄利克雷L函数

其中，s为实部大于1的所有复数。这一函数可以解析延宕为整个复平面上的亚纯函数。广义黎曼猜想即是指，狄利克雷L函数L(χ,s)的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当对所有n都有χ(n) = 1时，广义黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

扩展黎曼猜想

假设K为数域（有理数域的有限次代数扩张域），OK为K的整数环，a为OK的理想，Na则为非零理想的绝对范数。于是可以定义K上的戴德金ζ函数

其中，s为实部大于1的所有复数。求和运算对OK的所有非零理想a进行。

这一函数也可以解析延宕到整个复平面上。扩展黎曼猜想是指，戴德金ζ函数ζK(s)的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当数域K取有理数域Q，其整数环则为Z时，扩展黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

参考文献

Hazewinkel, Michiel (编),Riemann hypothesis, generalized,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

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