初步定义

在定义分离公理之前，让我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（须注意的是，可分离的集合不一定等同于下一节所定义的“分离空间”。）

分离公理是利用拓扑的方法来分办不相交的集合及相区别的点。不只要拓扑空间内的元素是相区别的，更要这些元素是“拓扑可区别的”；不只要拓扑空间内的子集是不相交的，更要这些子集是（以某种方式）“可分离的”。分离公理声称，无论如何，若点或集合在某些较弱意思下是可区别的或可分离的，也必须在某些较强的意思下是可区别或可分离的。

设X为一拓扑空间，A,B ⊆ X，R是实数集，定义：

对于X中的点x，y（或点x和子集A），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当单元素集合{x}和{y}（或{x}和子集A）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。

以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相区分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更进一步地说，任何两个可分离的集合也必然是不相交的，任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的，以此类推。

上述条件更详细的叙述(包括分离公理外的用途)，请参见分离集合和拓扑不可区分性等条目。

主要定义

下面的定义都会直接使用到上面的初步定义。

大部分的分离公理都会另一个等价的定义；下面所给出的定义会维持一致的模式，以和上一节所定义的许多分离的概念相连结。其他等价的定义则分别写在个别的条目之中。

在下面所有的定义之中， X 也还是个拓扑空间，而所有的函数也都被假设为连续的。

X 称为 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空间或“柯尔莫果洛夫空间”，若在 X 内，任意两个相区别的点皆为拓扑可区分的。

X 称为R 0 空间或“对称空间”，若在 X 内，任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。

X 称为T 1 空间、“可及空间”或“弗雷歇空间”，若在 X 内，任意两个相区别的点都是可分离的。因此， X 为T 1 空间，当且仅当 X 同时为T 0 及R 0 空间。

X 称为R 1 空间或“预正则空间”，若在 X 内，任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R 1 空间必然也是R 0 空间。

X 称为 T 2 {\displaystyle T_{2}} 空间或“豪斯多夫空间”，若在 X 内，任意两个相区别的点都是邻域上可分离的。因此， X 为豪斯多夫空间，当且仅当 X 同时为T 0 及R 1 空间。豪斯多夫空间必然也是T 1 空间。

X 称为T 2½ 空间或“乌雷松空间”，若在 X 内，任意两个相区别的点都是闭邻域上可分离的。T 2½ 空间必然也是豪斯多夫空间。

X 称为完全豪斯多夫空间或“完全T 2 空间”，若在 X 内，任意两个相区别的点都是函数上可分离的。完全豪斯多夫空间必然也是T 2½ 空间。

X 称为正则空间，若在 X 内，给定一点 x 及一闭集 F ，则若 x 不属于 F ， x 和 F 即为邻域上可分离的（实际上，在一个正则空间里， x 和 F 也同样会是闭邻域上可分离的）。正则空间必然也是R 1 空间。

X 称为正则豪斯多夫空间或“ T 3 空间”，若 X 同时为T 0 及正则空间。正则豪斯多夫空间必然也是T 2½ 空间。

X 称为完全正则空间，若在 X 内，给定一点 x 及一闭集 F ，则若 x 不属于 F ， x 和 F 即为函数上可分离的。完全正则空间必然也是正则空间。

X 称为吉洪诺夫空间、“ T 3½ 空间”、“完全T 3 空间”或“完全正则豪斯多夫空间”，若 X 同时为T 0 及完全正则空间。吉洪诺夫空间必然同时也是正则豪斯多夫空间及完全豪斯多夫空间。

X 称为正规空间，若在 X 内，任意两个相区别的闭子集都是邻域上可分离的（实际上，在正规空间里，任意两个相区别的闭子集也同样会是函数上可分离的；这称为乌雷松引理）。

X 称为正规豪斯多夫空间或“T 4 空间”，若 X 同时为T 1 及正规空间。正规豪斯多夫空间必然同时也是吉洪诺夫空间及正规正则空间。

X 称为完全正规空间，若在 X 内，任意两个相区别的子集都是邻域上可分离的。完全正规空间必然也是正规空间。

X 称为完全正规豪斯多夫空间、“ T 5 空间 ”或“完全T 4 空间”，若 X 同时为完全正规及T 1 空间。完全正规豪斯多夫空间必然也是正规豪斯多夫空间。

X 称为完美正规空间，若在 X 内，任意两个相区别的闭子集都是函数上完全分离的。完美正规空间必然也是完全正规空间。

X 称为完美正规豪斯多夫空间、“T 6 空间”或“完美T 4 空间”，若 X 同时为完美正规及T 1 空间。完美正规豪斯多夫空间必然也是完全正规豪斯多夫空间。

各空间之间的关系

T 0 空间很特别，因为它不只可以当做一个性质加在其他空间上（如完全正则空间加上T 0 即为吉洪诺夫空间），也可以由某个空间中删去此一性质（如豪斯多夫空间删去T 0 即为R 1 空间）；更多资讯请见柯尔莫果洛夫商空间。当其应用在分离公理时，便会导致如下表所列的关系：

在表中，利用柯尔莫果洛夫商空间运算，右边的空间加上T 0 即为左边的空间，左边的空间删去T 0 即为右边的空间。

除了T 0 的加上及删去之外，各空间之间的关系则可由下图指明出来：

在图中，无T 0 版本的空间在斜线的左边，T 0 版本的空间则在斜线的右边。之中的字母代表的意思： P为完美（perfectly）、C为完全（completely）、N为正规（normal）、R为正则（regular）。 黑点代表该空间没有给定名称。

结合两个空间的性质最后会产生的空间可由上图得知，只要看两点向上的分支会交会在哪一点即可。例如，若有一个空间同时为完全正规（CN）及完全豪斯多夫（CT 2 ）空间，则查看两点向上的分支，会发觉为“•/T 5 ”。因为完全豪斯多夫空间为斜边的T 0 端（即使完全正规空间不是），最后得到的空间便会在斜边的T 0 端。亦即，完全正规完全豪斯多夫空间即为T 5 空间。

再看一次上图，正规空间及R 0 空间结合在一起，由于会经过许多右侧的分支，也意指会产生许多两个空间所没有的其他性质。因为正则性是之中最为人知的性质，结合正规空间及R 0 空间而成的空间一般称为“正规正则空间”。基于类似的想法，正规T 1 空间通常称为“正规豪斯多夫空间”。上述的惯用名称可以延伸至其他正则空间与豪斯多夫空间之上。

参考文献

Michael C. Gemignani; Elementary Topology ; ISBN 0486665224

Schechter, Eric; 1997; Handbook of Analysis and its Foundations ; Publisher: Academic Press;http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/

Stephen Willard, General Topology , Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

There are several other good books on general topology, but beware that some use slightly different definitions.

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