立方数和

首 n {\displaystyle n} 个正立方数之和为 [ ( n + 1 ) n 2 ] 2 {\displaystyle \left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]^{2}} ，即第 n {\displaystyle n} 个三角形数的平方

每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。（华林问题）

1939年，狄克森证明只有23和239须用9个正立方数。

亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个：15,22,50,114,167,175,186,212,231,238,303, 364, 420, 428, 454 （ A018889 ）

的士数和士的数都指最小能表示成两个立方数之和的数，但的士数的必须为正数，士的数则无此限。

只有一组连续三个立方数之和亦是立方数，就是3,4,5的立方，其和等于6的立方。

在十进制，除了1之外，仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身，它们为153, 370, 371, 407，他们是 n = 3 {\displaystyle n=3} 的自恋数。这4个三位数，亦可视为将它的数字分成三份，每份的立方之和，相似性质的整数有无限个，如165033, 221859, 336700等（ A056733 ）。

涉及立方数和的问题

1. 方程3=x +y +z 除了有4组解（1,1,1）；（4,4，-5）；（4，-5,4）；（-5,4,4）以外，是否还有其它整数解？

2. 方程30=x +y +z 是否有整数解？

30=2220422932 -283059965 -2218888517

其他

立方质数的定义为 x 3 − − --> y 3 x − − --> y {\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}} ，其中 x = y + 1 {\displaystyle x=y+1} 或 x = y + 2 {\displaystyle x=y+2}

参考

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