内容

如果函数f(x){\displaystyle f(x)}及g(x){\displaystyle g(x)}满足

在闭区间[a,b]{\displaystyle [a,b]}上连续；

在开区间(a,b){\displaystyle (a,b)}内可导，

对任意x∈ ∈ -->(a,b),g′(x)≠ ≠ -->0{\displaystyle x\in (a,b),g"(x)\neq 0}，那么在(a,b){\displaystyle (a,b)}内至少有一点ξ ξ -->(a<b){\displaystyle \xi (a 使等式

柯西定理的几何意义

成立。

其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线，因为可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点似乎曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. (拉格朗日)中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

证明

首先，如果g(a)=g(b){\displaystyle g(a)=g(b)}，由罗尔定理，存在一点x0∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle x_{0}\in (a,b)}使得g′(x0)=0{\displaystyle g"(x_{0})=0}，与条件3矛盾。所以g(a)≠ ≠ -->g(b){\displaystyle g(a)\neq g(b)}。

令h(x)=f(x)− − -->f(b)− − -->f(a)g(b)− − -->g(a)⋅ ⋅ -->g(x){\displaystyle h(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g(x)}。那么

h{\displaystyle h}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上连续，

h{\displaystyle h}在(a,b){\displaystyle (a,b)}上可导，

h(a)=h(b)=f(a)g(b)− − -->f(b)g(a)g(b)− − -->g(a){\displaystyle h(a)=h(b)={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}}。由罗尔定理，存在一点ξ ξ -->∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle \xi \in (a,b)}使得h′(ξ ξ -->)=0{\displaystyle h"(\xi )=0}。即f′(ξ ξ -->)=f(b)− − -->f(a)g(b)− − -->g(a)⋅ ⋅ -->g′(ξ ξ -->){\displaystyle f"(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g"(\xi )}。命题得证。

参见

拉格朗日中值定理

微分中值定理

罗尔定理

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