归一化导引

一般而言，波函数 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 是一个复函数。可是，ψ ψ -->∗ ∗ -->ψ ψ -->=∣ ∣ -->ψ ψ -->∣ ∣ -->2{\displaystyle \psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}} 是一个实函数，大于或等于 0{\displaystyle 0} ，称为概率密度函数。所以，在区域 [x, x+Δ Δ -->x]{\displaystyle [x,\ x+\Delta x]} 内，找到粒子的概率 Δ Δ -->P{\displaystyle \Delta P} 是

既然粒子存在于空间，概率是 1{\displaystyle 1} 。所以，积分于整个一维空间：

假若，从解析薛定谔方程而得到的波函数 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } ，其概率 P{\displaystyle P} 是有限的，但不等于 1{\displaystyle 1} ，则可以将波函数 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 乘以一个常数，使概率 P{\displaystyle P} 等于 1{\displaystyle 1} 。或者，假若波函数内，已经有一个任意常数，可以设定这任意常数的值，使概率 P{\displaystyle P} 等于 1{\displaystyle 1}。

实例

在一维空间内，束缚于区域 [0, ℓ ℓ -->]{\displaystyle [0,\ \ell ]} 内的一个粒子，其波函数是

其中，k{\displaystyle k} 是波数，ω ω -->{\displaystyle \omega } 是角频率，A{\displaystyle A} 是任意常数。

计算能够使波函数归一化的常数值 A{\displaystyle A} 。将波函数代入：

积分于整个粒子存在的区域：

稍加运算，

归一化的波函数是：

薛定谔方程的形式不变

薛定谔方程为

其中，ℏ ℏ -->{\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数，V(x){\displaystyle V(x)} 是位势，E{\displaystyle E} 是能量。

将波函数 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 归一化为 ψ ψ -->′=Aψ ψ -->{\displaystyle \psi \,"=A\psi } 。则薛定谔方程成为

薛定谔方程的形式不变。对于归一化，薛定谔方程是个不变式，因为薛定谔方程是个线性微分方程。

一个表达粒子量子态的波函数，必须满足粒子的薛定谔方程。既然 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 和 ψ ψ -->′{\displaystyle \psi \,"} 都能够满足同样的薛定谔方程，它们必定都表达同样的量子态。假若不使用归一化的波函数，则只能知道概率的相对大小；否则，使用归一化的波函数，可以知道绝对的概率。这对于量子问题的解析，会提供许多便利。

归一化恒定性

给予一个归一化的波函数．随着时间的变化，波函数也会改变．假若，随着时间改变的波函数不再满足归一条件，则势必要重新将波函数归一化．这样，归一常数 A{\displaystyle A} 变得含时间．很幸运地，满足薛定谔方程的波函数的归一性是恒定的．设定波函数 ψ ψ -->(x, t){\displaystyle \psi (x,\ t)} 满足薛定谔方程与归一条件：

假若，归一性是恒定的，则概率 P{\displaystyle P} 不含时间。为了显示这一点，先计算 dPdt{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}} ：

展开被积函数

编排薛定谔方程，可以得到波函数 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 对于时间的偏导数：

共轭波函数 ψ ψ -->∗ ∗ -->{\displaystyle \psi ^{*}} 对于时间的偏导数为

将 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 与 ψ ψ -->∗ ∗ -->{\displaystyle \psi ^{*}} 代入被积函数

代入 dPdt{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}} 的方程:

可是，在 x=± ± -->∞ ∞ -->{\displaystyle x=\pm \infty } ，ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 与 ψ ψ -->∗ ∗ -->{\displaystyle \psi ^{*}} 都等于 0 ．所以，

概率 P=1{\displaystyle P=1} 不含时间。波函数的归一化是恒定的。

参考文献

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

参阅

正则变换

幺正性

外部链接

Middlebury 大学讲义：归一化

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