标度不变与共形不变

标度变换 是共形变换之子集。 标度变换下不变、但共形变换下变之量子场论例子罕见。 而且在某些条件下，标度不变涵蕴共形不变。 故量子场论研究员常混用 标度不变 与 共形不变 二词。

二维共形场论

二维共形场论有一无限维之局部共形变换群。例如，考虑黎曼球面上的共形场论：虽其变换群由各Moebius变换组成、同构于PSL(2, C )，但其无穷小共形变换则构成无限维之Witt代数。注意：大多共形场论量子化后会出现 共形反常 （又称Weyl反常）。此现象引进一非零之中心荷，因而Witt代数须扩展成Virasoro代数。

此对称结构让我们更细致分类二维的共形场论。尤其我们可联繋一共形场论之原初算子 与其中心荷 c 。各物理态 组成之希尔伯特空间是Virasoro代数以 c 为定值之一幺正模 . 若要使整个系统穏定，则其Hamiltonian能谱 应限于零上。最广为人用者是Virasoro代数之最高权表示 。

一手征场是一全纯场 W ( z )，其在维拉宿代数作用下之变换为

反手征场之定义亦类同。我们称 Δ 为手征场 W 之“共形权” 。

Zamolodchikov 证明了：存在一函数 C ，在重整群流作用下单调下降，且等于一二维共形场论之中心荷。 此定理人称“Zamolodchikov C-定理”。

参阅

AdS/CFT对偶

算子积展开

顶点代数

WZW模型

临界点

共形反常

参考文献

Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory .arXiv:hep-th/9108028.

P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer-Verlag,纽约, 1997年. ISBN 0-387-94785-X.

A.B Zamolodchikov, ``Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory, Nucl.Phys.B241:333-380,1984.

A.B Zamolodchikov, ``Irreversibility" Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory, JETP Lett.43:730-732,1986[1](Russian version).

弦论通俗演义（十九）

延伸阅读

Martin Schottenloher, A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory , Springer-Verlag,BerlinHeidelberg, 1997. ISBN 3-540-61753-1, 2nd edition 2008, ISBN 978-3-540-68625-5.

Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory .arXiv:hep-th/9108028.

P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94785-X.

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