严格定义

每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设π 为一个n元置换：

给出其映射图：

它对应的n × n的置换矩阵Pπ是：在第i横行只有π(i)位置上系数为1，其余为0。即可以写做：

其中每个ej{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}表示正则基中的第j个，也就是一个左起第j个元素为1，其余都是0的n元横排数组。

由于单位矩阵是

置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。

性质

对两个n元置换π 和 σ的置换矩阵Pπ 和Pσ，有

一个置换矩阵Pπ 必然是正交矩阵（即满足Pπ π -->Pπ π -->T=I{\displaystyle P_{\pi }P_{\pi }^{T}=I}），并且它的逆也是置换矩阵：

用置换矩阵Pπ π -->{\displaystyle P_{\pi }}左乘一个列向量g所得到的是 g 的系数经过置换后的向量：

用置换矩阵Pπ π -->{\displaystyle P_{\pi }}右乘一个行向量h 所得到的是 h 的系数经过置换后的向量：

置换矩阵与置换

设Sn是n次对称群，由于n置换一共有n! 个，n阶的置换矩阵也有n! 个。这n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设A是所有n阶的置换矩阵的集合。映射Sn → A ⊂ GL(n, Z2)是一个群的忠实表示。

对一个置换σ，其对应的置换矩阵Pσ是将单位矩阵的横行进行 σ 置换，或者将单位矩阵的横行进行 σ 置换得到的矩阵。

置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯·诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合，并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。

置换矩阵Pσ的迹数等于相应置换σ的不动点的个数。设 a1、a2、……、ak 为其不动点的序号，则ea1、ea2、……、eak 是Pσ的特征向量。

由群论可以知道，每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知，置换矩阵Pσ都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。Pσ的行列式就等于 σ 的符号差。

例子

对应于置换π = (1 4 2 5 3)的置换矩阵Pπ 是

给定一个向量 g，

推广

置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况：

这时一个0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1，每一列至多有一个1。

置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数：

这时的置换矩阵P可以看做由0和1组成的置换矩阵Q与一个对角矩阵相乘的结果。

参见

变号矩阵

广义置换矩阵

参考来源

左光纪，置换矩阵的组合合成及其图表示

0-1矩阵与置换矩阵

置换矩阵（英文）

置换矩阵介绍（英文）

张贤达，矩阵分析与应用，清华大学出版社，2004。

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