定义

设 V , W 和 X 是在同一个基础域 F 上的三个向量空间。双线性映射是函数

使得对于任何 W 中 w ，映射

是从 V 到 X 的线性映射，并且对于任何 V 中的 v ，映射

是从 W 到 X 的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果的是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果 V = W 并且有 B ( v , w ) = B ( w , v )对于所有 V 中的 v , w ，则我们称 B 是对称的。

当这里的 X 是 F 的时候，我们称之为 双线性形式 ，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

如果使用在交换环 R 上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到 n 元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 R 和右模 M R 与左模 R N 的情况，我们可以定义双线性映射 B : M × N → T ，这里的 T 是阿贝尔环，使得对于任何 N 中的 n ， m ↦ B ( m , n )是群同态，而对于任何 M 中的 m ， n ↦ B ( m , n )是群同态，并还满足

对于所有的 M 中的 m ， N 中 n 和 R 中的 t 。

性质

定义的V, W , X 是有限维的，则 L(V,W;X) 也是。对于 X=F 就是双线性形式，这个空间的维度是dim V ×dim W （尽管线性形式的空间 L(V×W;K) 的维度是dim V +dim W ）。要看出来，选择 V 和 W 的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 B ( e i , f j ) {\displaystyle B(e_{i},f_{j})} ，反之亦然。现在，如果 X 是更高维的空间，我们明显的有dim L(V 如果 V , W , X 是有限维的，则 L(V,W;X) 也是。对于 X=F 就是双线性形式，这个空间的维度是dim V ×dim W （尽管线性形式的空间 L(V×W;K) 的维度是dim V +dim W ）。要看出来，选择 V 和 W 的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 B ( e i , f j ) {\displaystyle B(e_{i},f_{j})} ，反之亦然。现在，如果 X 是更高维的空间，我们明显的有dim L(V,W;X) =dim V ×dim W ×dim X 。

例子

矩阵乘法是双线性映射M( m , n )×M( n , p ) → M( m , p )。

如果在实数 R 上的向量空间 V 承载了内积，则内积是双线性映射 V × V → R 。

一般的说，对于在域 F 上的向量空间 V ，在 V 上的双线性形式同于双线性映射 V × V → F 。

如果 V 是有对偶空间 V* 的向量空间，则应用算子 b ( f , v ) = f ( v )是从 V *× V 到基础域的双线性映射。

设 V 和 W 是在同一个基础域 F 上的向量空间。如果 f 是 V * 的成员而 g 是 W * 的成员，则 b ( v , w ) = f ( v ) g ( w )定义双线性映射 V × W → F 。

在 R 中叉积是双线性映射 R × R → R 。

设 B : V × W → X 是双线性映射，而 L : U → W 是线性算子，则( v , u ) → B ( v , Lu )是在 V × U 上的双线性映射。

零映射，定义于 B ( v , w ) = o {\displaystyle B(v,w)=o} 对于所有 V × W 中的( v , w )，是从 V × W 到 X 的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果( v,w )∈ V × W ，则 B ( v , w ) = B ( v , o ) + B ( o , w ) = o + o {\displaystyle B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o} 。

参见

张量积

多线性映射

半双线性形式

双线性滤波

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