权的基本公式

求权的基本公式为

pi=μ μ -->2mi2(i=1,2… … -->){\displaystyle p_{i}={\frac {\mu ^{2}}{m_{i}^{2}}}(i=1,2\ldots )}

式中，μ μ -->{\displaystyle \mu }是任意常数，mi{\displaystyle m_{i}}是中误差。由此可见，权与中误差平方成反比，即精度越高，权越大。应用上式求一组观测值的权pi{\displaystyle p_{i}}时，必须采用同一个μ μ -->{\displaystyle \mu }值。

由该定义式，可以看出，当mi=μ μ -->{\displaystyle m_{i}=\mu }时，pi=1{\displaystyle p_{i}=1}，所以μ μ -->{\displaystyle \mu }是权等于1的观测值的中误差，通常称权等于1的权为单位权，权为1的观测值为单位权观测值。而μ μ -->{\displaystyle \mu }为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。

可以写出各观测值的权之间的比例关系：

p1:p2:⋯ ⋯ -->:pn=μ μ -->2m12:μ μ -->2m22:… … -->:μ μ -->2mn2=1m12:1m22:… … -->:1mn2{\displaystyle p_{1}:p_{2}:\dots :p_{n}={\frac {\mu ^{2}}{m_{1}^{2}}}:{\frac {\mu ^{2}}{m_{2}^{2}}}:\ldots :{\frac {\mu ^{2}}{m_{n}^{2}}}={\frac {1}{m_{1}^{2}}}:{\frac {1}{m_{2}^{2}}}:\ldots :{\frac {1}{m_{n}^{2}}}}

可知，一组观测值的权之比等于他们的中误差平方的倒数之比。不论假设μ μ -->{\displaystyle \mu }取何值，这组权之间的比例关系不变。所以，权反映了观测值之间的相互精度关系。就计算p值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定他们之间的比例关系。mi{\displaystyle m_{i}}可以是同一个量的观测中误差，也可以是不同量的观测中误差，即权可以反映同一量的若干个观测值之间的精度高低，也可以反映不同量的观测值之间的精度高低。

普通测量中的定权

同精度丈量时，边长的权与边长成反比。

当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度成反比。

当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。

由不同个数的同精度观测值求得得算术平均值，其权与观测值个数成正比。

观测值函数的权

设有独立观测值 L1,L2,… … -->,Ln{\displaystyle L_{1},L_{2},\ldots ,L_{n}}，标准差标准差及权分别为m1,m2,… … -->,mn{\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}}和p1,p2,… … -->,pn{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}。令观测值函数为：

z=f(L1,L2… … -->Ln){\displaystyle z=f(L_{1},L_{2}\ldots L_{n})}

由误差传播及定权公式，得

μ μ -->2pz=(∂ ∂ -->f∂ ∂ -->L1)2μ μ -->2p1+(∂ ∂ -->f∂ ∂ -->L2)2μ μ -->2p1+… … -->+(∂ ∂ -->f∂ ∂ -->Ln)2μ μ -->2pn{\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{p_{z}}}=\left({\frac {\partial f}{\partial L_{1}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{1}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial L_{2}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{1}}}+\ldots +\left({\frac {\partial f}{\partial L_{n}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{n}}}}

式中(∂ ∂ -->f∂ ∂ -->Ln){\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial L_{n}}}\right)}是常量，用fi{\displaystyle f_{i}}表示，上式约去μ μ -->2{\displaystyle \mu ^{2}}后得

1pz=f121p1+f221p2+… … -->+fn21pn=[ffp]{\displaystyle {\frac {1}{p_{z}}}=f_{1}^{2}{\frac {1}{p_{1}}}+f_{2}^{2}{\frac {1}{p_{2}}}+\ldots +f_{n}^{2}{\frac {1}{p_{n}}}=\left[{\frac {ff}{p}}\right]}

这就是独立观测值权倒数与其函数权倒数之间关系的表达式。这个表达式成为权倒数传播律。

广义算术平均值的权，等于观测值权之和。

px=[p]{\displaystyle p_{x}=[p]}

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