零点

若 χ χ -->{\displaystyle \chi } 是原特征，χ χ -->(− − -->1)=1{\displaystyle \chi (-1)=1}，则 L(s,χ χ -->){\displaystyle L(s,\chi )} 在 Re(s)<0{\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0} 的零点是负偶数。

若 χ χ -->{\displaystyle \chi } 是原特征，χ χ -->(− − -->1)=− − -->1{\displaystyle \chi (-1)=-1}，则 L(s,χ χ -->){\displaystyle L(s,\chi )} 在 Re(s)<0{\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0} 的零点是负奇数。

不论可能的西格尔零点，狄利克雷L函数有与黎曼ζ函数相似的无零点区域，包括 {s:Re(s)≥ ≥ -->1}{\displaystyle \{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}}。一如黎曼ζ函数，狄利克雷L函数也有相应的广义黎曼猜想。

函数方程

假设 χ χ -->{\displaystyle \chi } 是模 k{\displaystyle k} 的原特征。定义

此处 Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma } 表Γ函数，而符号 a{\displaystyle a} 由下式给出

则有函数方程

此处的 τ τ -->(χ χ -->){\displaystyle \tau (\ch高斯)} 表高斯和

我们亦有 |τ τ -->(χ χ -->)|=k12{\displaystyle |\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}}。

文献

H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer. 2000. ISBN 0-387-95097-4. 

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